已知 $a$ 为常数,函数$f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{a-x^2}-\sqrt{1-x^2}}$ 的最小值为$-\dfrac{2}{3}$,则 $a$ 的取值范围_____

解:

考虑到是奇函数,只需考虑$|f(x)|=\dfrac{2}{3}$,

由于$(x\sqrt{a-x^2}+\sqrt{1-x^2}x)^2\le(x^2+1-x^2)(a-x^2+x^2)=a$
得$|f(x)|\le|\dfrac{\sqrt{a}}{a-1}|=\dfrac{2}{3},a=4,\textbf{或者}\dfrac{1}{4}$

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