[BJWC2018]Border 的四种求法(后缀自动机+链分治+线段树合并)

题目描述

给一个小写字母字符串 S ，q 次询问每次给出 l,r ，求 s[l..r] 的 Border 。

Border: 对于给定的串 s ，最大的 i 使得 s[1..i] = s[|s|-i+1..|s|], |s| 为 s 的长度。

题解

这题的描述很短，给人一种很可做的假象。

暴力1：每次对区间lr做一次KMP，求出border数组，复杂度nq。

暴力2：构建后缀自动机，用线段树合并维护出right集合考虑到两个串的最长后缀为他们在parent树上的LCA的len，所以我们可以在parent树上跳father，相当于枚举LCA，那么如果有匹配的点，则一定满足：

i-len[LCA]+1<=l => i=len[LCA]<l => i<l+len[LCA]       i>=l&&i<r （i为我们要求的点，l为询问的左端点，LCA为i和r的LCA）

所以我们只需要在线段树上查子树内查询满足上述条件的最大的i就可以了，复杂度最好qlogn，最差qn。

这两种暴力好像差不多。。

我们观察到第二种暴力它的瓶颈在于枚举LCA，但查询只需要一个log，我们可以想一些办法把复杂度均摊一下。

链分治

这就是这道题的重头戏，它用到了一个重要的性质，我们将一棵树重链剖分之后，从根到任意一点的路径上，轻重链切换的次数是不超过log的。

然后我们就可以用它搞一些事情。

比如说这道题，我们可以把询问拆成log个挂在它到根的路径上，每条链挂一个，对于当前链，挂在原来的点上，对于上面的链，挂在链的最底端。

其实我们也是相当于在枚举lca，对于挂上去的点，我们可以直接用上面暴力2的方法统计答案，复杂度是log的，那么对于其他点，我们如何统计答案呢？

我们可以发现一个性质，就是对于最底端这个点向上的其他链上的点作为LCA时，答案只会出现在这个点除了重儿子以外的子树内以及自己，因为重链底下的子树我们刚才已经处理过了。

所以我们的做法就是，对于每一条重链，自顶至底处理，然后我们把式子移个项

i-len[LCA]<l

我们把这个点的所有非重儿子所在子树中的点的i-len[LCA]全部加进以i为下标的线段树中，然后一直往下合并，那么每到一个点，它就保存了它到重链顶端所有LCA的信息，然后我们直接询问挂在这个点的询问就可以了。

但每次暴力加的复杂度对吗？

树上启发式合并(DSU on tree)

这个操作的原理和上面的一模一样，都是利用了轻重链log的性质。

主要思想就是，维护重链，轻链暴力，考虑一个点会被暴力做多少次，它到根的路径上轻重链切换的时候才会产生一次，根据上面的结论，这是log的。

于是我们在nlog2的时间内做完了这道题。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
#define N 400002
#define inf 2e9
using namespace std;
vector<int>vec[N];
char s[N];
int last,cnt,n,tot,head[N],topp,ls[N*],rs[N*],tr[N*],T[N<<],len[N],id[N],ch[N][],fa[N],f[N];
int L[N*],R[N*],size[N],top[N],son[N],ans[N],q,rt[N],_id[N],mi[N*];
inline int rd(){
    int x=;char c=getchar();bool f=;
    while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=;c=getchar();}
    while(isdigit(c)){x=(x<<)+(x<<)+(c^);c=getchar();}
    return f?-x:x;
}
struct edge{int n,to;}e[N<<];
struct node{int l,r;}qu[N];
inline void add(int u,int v){e[++tot].n=head[u];e[tot].to=v;head[u]=tot;}
inline int newnode(){
    int x=++topp;tr[x]=inf;ls[x]=rs[x]=;
    return x;
}
void ins(int &cnt,int l,int r,int x){
    if(!cnt)cnt=++topp,mi[cnt]=inf;mi[cnt]=min(mi[cnt],x);
    if(l==r)return;
    int mid=(l+r)>>;
    if(mid>=x)ins(L[cnt],l,mid,x);
    else ins(R[cnt],mid+,r,x);
}
int merge(int cnt,int pre,int l,int r){
    if(!cnt||!pre)return cnt^pre;
    int p=++topp;mi[p]=min(mi[cnt],mi[pre]);
    if(l==r)return p;
    int mid=(l+r)>>;
    L[p]=merge(L[cnt],L[pre],l,mid);
    R[p]=merge(R[cnt],R[pre],mid+,r);
    return p;
}
int prequery(int cnt,int l,int r,int ql,int qr,int x){
    if(mi[cnt]>=x)return ;
    if(l==r)return (l>=ql&&l<=qr)?l:;
    int mid=(l+r)>>;
    if(mid<qr&&mi[R[cnt]]<x){
        int num=prequery(R[cnt],mid+,r,ql,qr,x);
        if(num)return num;
    }
    else if(mid>=ql&&mi[L[cnt]]<x)return prequery(L[cnt],l,mid,ql,qr,x);
    return ;
}
inline void insert(int x,int tag){
    int p=last,np=++cnt;last=np;len[np]=len[p]+;
    ins(T[np],,n,tag);id[tag]=np;_id[np]=tag;
    for(;p&&!ch[p][x];p=fa[p])ch[p][x]=np;
    if(!p)fa[np]=;
    else{
        int q=ch[p][x];
        if(len[p]+==len[q])fa[np]=q;
        else{
            int nq=++cnt;len[nq]=len[p]+;
            memcpy(ch[nq],ch[q],sizeof(ch[nq]));
            fa[nq]=fa[q];fa[q]=fa[np]=nq;
            for(;ch[p][x]==q;p=fa[p])ch[p][x]=nq;
        }
    }
}
void ins2(int &cnt,int l,int r,int x,int y){
    if(!cnt)cnt=newnode();tr[cnt]=min(tr[cnt],y);
    if(l==r)return;
    int mid=(l+r)>>;
    if(mid>=x)ins2(ls[cnt],l,mid,x,y);
    else ins2(rs[cnt],mid+,r,x,y);
}
int merge2(int cnt,int pre,int l,int r){
    if(!cnt||!pre)return cnt^pre;
    int mid=(l+r)>>;tr[cnt]=min(tr[cnt],tr[pre]);
    if(l==r)return cnt;
    ls[cnt]=merge2(ls[cnt],ls[pre],l,mid);
    rs[cnt]=merge2(rs[cnt],rs[pre],mid+,r);
    return cnt;
}
int query(int cnt,int l,int r,int L,int R,int x){   ///!!!
    if(l==r)return (l>=L&&l<=R)?l:;
    if(tr[cnt]>=x)return ;
    int mid=(l+r)>>;
    if(mid<R&&tr[rs[cnt]]<x){
        int num=query(rs[cnt],mid+,r,L,R,x);
        if(num)return num;
    }
    if(tr[ls[cnt]]<x&&mid>=L)return query(ls[cnt],l,mid,L,R,x);
    return ;
}
void dfs1(int u){
    size[u]=;
    for(int i=head[u];i;i=e[i].n){
        int v=e[i].to;
        f[v]=u;dfs1(v);
        size[u]+=size[v];
        if(size[v]>size[son[u]])son[u]=v;
    }
}
void dfs2(int u){
    if(!top[u])top[u]=u;if(son[u])top[son[u]]=top[u],dfs2(son[u]);
    for(int i=head[u];i;i=e[i].n){
       if(e[i].to!=son[u])dfs2(e[i].to);
       T[u]=merge(T[u],T[e[i].to],,n);
    }
}
void prework(int cnt,int l,int r,int top){
    if(l==r){ins2(rt[top],,n,l,l-len[top]);return;}
    int mid=(l+r)>>;
    if(L[cnt])prework(L[cnt],l,mid,top);
    if(R[cnt])prework(R[cnt],mid+,r,top);
}
void solve(int u){
    for(int i=head[u];i;i=e[i].n)solve(e[i].to);
    if(top[u]==u){
        int x=u;
        while(x){
            for(int i=head[x];i;i=e[i].n){
              int v=e[i].to;if(v==son[x])continue;
              prework(T[v],,n,x);
            }
            for(int i=;i<vec[x].size();++i){
                int l=qu[vec[x][i]].l,r=qu[vec[x][i]].r;
                ans[vec[x][i]]=max(ans[vec[x][i]],query(rt[x],,n,l,r-,l));
            }
            if(son[x])rt[son[x]]=merge2(rt[son[x]],rt[x],,n);
            x=son[x];
        }
    }
}
int main(){
    tr[]=mi[]=inf;
    scanf("%s",s+);n=strlen(s+);
    cnt=last=;
    for(int i=;i<=n;++i)insert(s[i]-'a',i);
    for(int i=;i<=cnt;++i)add(fa[i],i);
    dfs1();dfs2();
    q=rd();topp=;//合并完后的第一类线段树不会新增节点了，所以把它清空。
    for(int i=;i<=q;++i){
        qu[i].l=rd();qu[i].r=rd();int x=id[qu[i].r];
        while(x){
          vec[x].push_back(i);
          ans[i]=max(ans[i],prequery(T[x],,n,qu[i].l,qu[i].r-,qu[i].l+len[x]));//!!!
          x=f[top[x]];
        }
    }
    for(int i=;i<=n;++i)ins2(rt[id[i]],,n,i,);
    solve();
    for(int i=;i<=q;++i)printf("%d\n",ans[i]?ans[i]-qu[i].l+:);
    return ;
}