【Dijkstra】

【摘自】：华山大师兄，推荐他的过程动画~

　　　　   myth_HG

定义

Dijkstra算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。

问题描述：在无向图 G=(V,E) 中，假设每条边 E[i] 的长度为 w[i]，找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。（单源最短路径）

算法描述

1)算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

算法步骤

a.初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，即:U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则<u,v>正常有权值，若u不是v的出边邻接点，则<u,v>权值为∞。

b.从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。

c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。

d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。

实例

对下图中的有向图，应用Dijkstra算法计算从源顶点1到其它顶点间最短路径的过程列在下表中。

模板

 #include <iostream>
 #include <cstring>
 #include <cstdlib>
 #include <cstdio>
 #include <queue>
 #include <vector>
 #include <algorithm>
 using namespace std;
 const int MAX_V = ;
 const int inf = 0x3f3f3f3f;

 typedef pair<int, int> pii;
 struct Dijkstra                              //封装dijkstra算法
 {
     struct Edge                       //定义边的结构体
     {
         int from, to, cost;
         Edge() {}
         Edge(int a, int b, int c) : from(a), to(b), cost(c) {}
     };
     int n, m;
     vector<Edge> G[MAX_V];             //边集合
     bool vis[MAX_V];
     int d[MAX_V];
     int prev[MAX_V];
     void init(int n)                //初始化，清空邻接表和边集合
     {
         this->n = n;
         for(int i = ; i <= n; i++)
         {
             G[i].clear();
         }
     }
     void add(int from, int to, int dist)     //建图
     {
         G[from].push_back(Edge(from,to,dist));
     }
     void dijkstra(int s)
     {
         priority_queue<pii, vector<pii>, greater<pii> > q;
         memset(d, inf, sizeof(d));
         memset(prev, -, sizeof(prev));
         d[s] = ;
         q.push(pii(, s));

         while(!q.empty())
         {
             pii p = q.top();    q.pop();
             int v = p.second;
             if(d[v] < p.first) continue;
             for(int i = ; i < G[v].size(); i++)
             {
                 Edge e = G[v][i];
                 if(d[e.to] > d[e.from]+e.cost)
                 {
                     d[e.to] = d[e.from]+e.cost;
                     q.push(pii(d[e.to], e.to));
                     prev[e.to] = e.from;
                 }
             }
         }
     }
     vector<int> Get_Path(int t)
     {
         vector<int> path;
         for(; t != -; t = prev[t])
             path.push_back(t);
         reverse(path.begin(), path.end());
         return path;
     }
 } D;

 int main()
 {
     int T;
     scanf("%d", &T);
     for(int kase = ; kase <= T; kase++)
     {
         int V, E;
         scanf("%d%d", &V, &E);
         D.init(V);
         for(int i = ; i < E; i++)
         {
             int u, v, w;
             scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
             D.add(u, v, w);     D.add(v, u, w);
         }
         int t; scanf("%d", &t);
         D.dijkstra(t);
         printf("Case %d:\n", kase);
         vector<int> path = D.Get_Path();

         for(int i = ; i < V; i++)
         {
             if(D.d[i] >= inf)
                 printf("Impossible\n");
             else
                 printf("%d\n", D.d[i]);
         }
     }
     return ;
 }

封装到class中

STL priority_queue实现：复杂度O（|E|·log|V|）

 #include <iostream>
 #include <cstring>
 #include <cstdlib>
 #include <cstdio>
 #include <queue>
 #include <vector>
 #include <algorithm>
 using namespace std;
 const int MAX_V = ;
 const int inf = 0x3f3f3f3f;
 int d[MAX_V];
 int used[MAX_V];
 int cost[MAX_V][MAX_V];
 int prev[MAX_V];
 int V, E;

 void Dijkstra(int s) //Source is the source,M is the number of point;
 {
     memset(used, , sizeof(used));
     memset(prev, -, sizeof(prev));
     memset(d, inf, sizeof(d));
     d[s] = ;

     while(true)
     {
         int v = -;
         for(int u = ; u < V; u++)
         {
             if(!used[u] && (v == - || d[u] < d[v])) v = u;
         }
         if(v == -) break;
         used[v] = true;
         for(int u = ; u < V; u++)
         {
             int tmp = max(d[u], cost[v][u]);
             d[u] = max(d[u], cost[v][u]);
             prev[u] = v;
         }
     }
 }

 vector<int> Get_Path(int t)
 {
     vector<int> path;
     for(; t != -; t = prev[t])
         path.push_back(t);
     reverse(path.begin(), path.end());
     return path;
 }

邻接矩阵

邻接矩阵实现：复杂度O（|V|²）