2018牛客网暑期ACM多校训练营（第二场） J - farm - [随机数哈希+二维树状数组]

题目链接：https://www.nowcoder.com/acm/contest/140/J

时间限制：C/C++ 4秒，其他语言8秒
空间限制：C/C++ 262144K，其他语言524288K
64bit IO Format: %lld

题目描述

White Rabbit has a rectangular farmland of n*m. In each of the grid there is a kind of plant. The plant in the j-th column of the i-th row belongs the a[i][j]-th type.
White Cloud wants to help White Rabbit fertilize plants, but the i-th plant can only adapt to the i-th fertilizer. If the j-th fertilizer is applied to the i-th plant (i!=j), the plant will immediately die.
Now White Cloud plans to apply fertilizers T times. In the i-th plan, White Cloud will use k[i]-th fertilizer to fertilize all the plants in a rectangle [x1[i]...x2[i]][y1[i]...y2[i]].
White rabbits wants to know how many plants would eventually die if they were to be fertilized according to the expected schedule of White Cloud.

输入描述:

The first line of input contains 3 integers n,m,T(n*m<=1000000,T<=1000000)
For the next n lines, each line contains m integers in range[1,n*m] denoting the type of plant in each grid.
For the next T lines, the i-th line contains 5 integers x1,y1,x2,y2,k(1<=x1<=x2<=n,1<=y1<=y2<=m,1<=k<=n*m)

输出描述:

Print an integer, denoting the number of plants which would die.

输入

2 2 2
1 2
2 3
1 1 2 2 2
2 1 2 1 1

输出

3

题意：

现有n行m列的矩阵a[1:n][1:m]，代表一个农场，

而a[i][j]等于一个整数k，代表这个位置上的农作物是第 k 种，

且第 k 种农作物只能施加第 k 种肥料，施加别的种类肥料会使其死亡，

然后给出T次施肥方案(x1, y1, x2, y2, k)，代表对(x1, y1)到(x2, y2)这一块矩阵上所有农作物施加第 k 种肥料，

现在要求知道这T次施肥方案过后，总共死掉了多少格农作物

题解：

先假设我们就用a[i][j]存储了这个格子上的农作物种类，

使用2D-BIT，不难想到，每次施加第 k 种肥，就给这整个矩阵所有格子全加上k，

那么最后我们枚举一遍整个矩阵的所有元素，若某一个元素不能整除a[i][j]就是死掉了，

但是这样一来会出问题，比如第3种农作物上试了一次第1种肥料，又施了一次第2种肥料，那么最后还是能整除3，

这时候需要用随机数哈希，把每个种类编号映射到一个比较大的随机数（大于本题的种类数最大值1e6），这样就能降低上述问题出现概率到一个可以接受的程度。

时间复杂度：预处理哈希$O\left( {nm} \right)$，输入农场$O\left( {nm} \right)$，T次施肥$O\left( {T \cdot \log n \cdot \log m} \right)$，暴力枚举n*m格子查询是否死亡$O\left( {nm \cdot \log n \cdot \log m} \right)$，在nm≤1e6的情况下，$nm \cdot \log n \cdot \log m$不会超过1e8。

（本题使用的是区间修改、单点查询2D-BIT，模板以及详解请传送门：树状数组进阶）

AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e6+;

struct BIT_2D
{
    int n,m;
    vector<ll> C[maxn];
    int lowbit(int x){return x&(-x);}
    void init(int n,int m) //初始化n行m列矩阵
    {
        this->n=n;
        this->m=m;
        for(int i=;i<=n;i++)
        {
            C[i].clear();
            for(int j=;j<=m;j++) C[i].push_back();
        }
    }
    void add(int x,int y,ll val)
    {
        for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
            for(int j=y;j<=m;j+=lowbit(j)) C[i][j]+=val;
    }
    void range_add(int x1,int y1,int x2,int y2,ll x) //左上角为(x1,y1)右下角为(x2,y2)的矩阵全部加上x
    {
        add(x1,y1,x);
        add(x1,y2+,-x);
        add(x2+,y1,-x);
        add(x2+,y2+,x);
    }
    ll ask(int x,int y) //查询点(x,y)的值
    {
        ll ret=;
        for(int i=x;i>;i-=lowbit(i))
            for(int j=y;j>;j-=lowbit(j)) ret+=C[i][j];
        return ret;
    }
}BIT;

int n,m,T;
vector<ll> a[maxn];

ll has[maxn];
inline ll get_rand(int m,int n)
{
    return rand()%(n-m+)+m;
}
void myhash(int m)
{
    srand(time(NULL));
    for(int i=;i<=m;i++) has[i]=get_rand(1e6,9e6);
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&T);
    myhash(n*m);
    BIT.init(n,m);
    for(int i=;i<=n;i++)
    {
        a[i].clear(); a[i].push_back();
        for(int j=,type;j<=m;j++)
        {
            scanf("%d",&type);
            a[i].push_back(has[type]);
        }
    }
    for(int i=;i<=T;i++)
    {
        int x1,y1,x2,y2,k;
        scanf("%d%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2,&k);
        BIT.range_add(x1,y1,x2,y2,has[k]);
    }

    int ans=;
    for(int i=;i<=n;i++)
    {
        for(int j=;j<=m;j++)
        {
            if(BIT.ask(i,j)%a[i][j] != ) ans++;
        }
    }
    cout<<ans<<endl;
}

注：由于本题n和m给出的范围是n*m≤1e6，显然不能使用1e6*1e6的二维数组，只能用1e6个vector<long long>来代替。