解：

当x→∞时，y也→∞,所以y没有最大值。

y=x3-6x2+15=-4*(x/2)*(x/2)*(6-x)+15

而根据几何平均数小于等于算术平均数的定理，(x/2)*(x/2)*(6-x)在x/2=6-x时取得最大值，同时y取得最小值。

而x/2=6-x可以得出x=4,此时ymin=16*(-2)+15=-17

上述结果的正确性可以用微分验证，当y的导数y'=3x2-12x=0时，y有极值。

而3x2-12x=0也可以得出x=4.

下图可以直观看出y=x3-6x2+15的极值

曲线：

代码：

  1. <!DOCTYPE html>
  2. <html lang="utf-8">
  3. <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8"/>
  4. <head>
  5.      <title>绘制函数y=x^3-6x^2+15曲线</title>
  6.     </head>
  7.  
  8.      <body onload="draw()">
  9.         <canvas id="myCanvus" width="1300px" height="640px" style="border:1px dashed black;">
  10.             出现文字表示你的浏览器不支持HTML5
  11.         </canvas>
  12.      </body>
  13. </html>
  14. <script type="text/javascript">
  15. <!--
  16.     function draw(){
  17.         var canvas=document.getElementById("myCanvus");
  18.         var canvasWidth=1300;
  19.         var canvasHeight=640;
  20.  
  21.         var context=canvas.getContext("2d");
  22.  
  23.         context.fillStyle = "white";
  24.         context.fillRect(0, 0, canvasWidth, canvasHeight);
  25.  
  26.         context.strokeStyle = "black";
  27.         context.fillStyle = "black";
  28.  
  29.         // 进行坐标变换：把原点放在左下角，东方为X轴正向，北方为Y轴正向
  30.         var offsetY=320;// Y向偏移值，正值向上偏，用来画坐标轴
  31.         var offsetX=650;// X向偏移值，正值向右偏，用来画坐标轴
  32.  
  33.         context.save();
  34.         context.translate(0+offsetX,canvasHeight-offsetY);
  35.  
  36.         drawAxisXText(context);// 文字和线分开画比较好处理
  37.         drawAxisYText(context);
  38.         drawTitleText(context);
  39.  
  40.         context.rotate(getRad(180));
  41.         context.scale(-1,1);        
  42.  
  43.         drawAxisX(context);
  44.         drawAxisY(context);
  45.         drawCurve(context);       
  46.  
  47.         context.restore();
  48.     }
  49.  
  50.     function drawTitleText(ctx){
  51.         ctx.lineWidth=0.5;
  52.         ctx.strokeStyle='navy';
  53.         ctx.fillStyle='navy';
  54.  
  55.         var x=350;
  56.         var y=-250;
  57.  
  58.         // 写文字
  59.         ctx.fillText("y=x^3-6x^2+15 红色",x,y);
  60.         //ctx.fillText("y=x*x-4*x+4 绿色",x,y+20);
  61.         //ctx.fillText("y=x*x 黄色",x,y+40);
  62.         //ctx.fillText("y=x*x+4*x+5 青柠色",x,y+60);
  63.         //ctx.fillText("y=-(x*x-7*x+12)/5 紫色",x,y+80);
  64.         //ctx.fillText("y=-(x*x+2*x+2)*4 栗色",x,y+100);
  65.  
  66.         ctx.fillText("  作者:逆火狂飙",x+170,y+30);
  67.     }
  68.  
  69.     function drawCurve(ctx){
  70.         var cds=[{}];
  71.         var cds1=[{}];
  72.         var cds2=[{}];
  73.         var cds3=[{}];
  74.         var cds4=[{}];
  75.         var cds5=[{}];
  76.         var cds6=[{}];
  77.  
  78.         var ymax=-1000,ymin=1000,xmax,xmin;
  79.  
  80.         var x,y;
  81.         for(x=-13;x<=13;x+=0.01){
  82.             y=Math.pow(x,3)-6*Math.pow(x,2)+15;//
  83.             var arr={"x":x,"y":y};
  84.             cds.push(arr);
  85.         }
  86.  
  87.         paintCurve(ctx,"red",cds);
  88.  
  89.         for(var i=0; i<cds.length; i++){
  90.             // 求y最大值
  91.             if(cds[i].x<0 && cds[i].y>ymax){
  92.                 ymax=cds[i].y;
  93.                 xmax=cds[i].x;
  94.             }
  95.  
  96.             // 求y最小值
  97.             if(cds[i].x>=0 && cds[i].y<ymin){
  98.                 ymin=cds[i].y;
  99.                 xmin=cds[i].x;
  100.             }
  101.         } 
  102.  
  103.         console.log("ymin="+ymin+" xmin="+xmin+" ymax="+ymax+" ymin="+ymin+" xmax="+xmax);
  104.         var SU=50;// Scale Unit
  105.         // 极大值
  106.         ctx.beginPath();
  107.         ctx.moveTo(xmax*SU,ymax*5-5);
  108.         ctx.lineTo(xmax*SU,ymax*5+5);
  109.  
  110.         ctx.save();
  111.         ctx.scale(1,-1);
  112.         ctx.fillText("ymax="+cutShort(ymax.toString(),8),xmax*SU,-ymax*5);
  113.         ctx.restore();
  114.  
  115.         ctx.stroke();
  116.         ctx.closePath();
  117.  
  118.         // 极小值
  119.         ctx.beginPath();
  120.         ctx.moveTo(xmin*SU,ymin*5-5);
  121.         ctx.lineTo(xmin*SU,ymin*5+5);
  122.  
  123.         ctx.save();
  124.         ctx.scale(1,-1);
  125.         ctx.fillText("ymin="+ymin,xmin*SU,-ymin*5);
  126.         ctx.restore();
  127.  
  128.         ctx.stroke();
  129.         ctx.closePath();
  130.  
  131.         /*paintCurve(ctx,"green",cds1);
  132.         paintCurve(ctx,"yellow",cds2);
  133.         paintCurve(ctx,"lime",cds3);
  134.         paintCurve(ctx,"purple",cds4);
  135.         paintCurve(ctx,"maroon",cds5);*/
  136.         //paintCurve(ctx,"maroon",cds6);*/
  137.     }
  138.  
  139.     function paintCurve(ctx,color,cds){
  140.         var SU=50;// Scale Unit
  141.  
  142.         ctx.strokeStyle = color;
  143.         ctx.beginPath();
  144.         for(var i=0; i<cds.length; i++){
  145.             ctx.lineTo(cds[i].x*SU,cds[i].y*5);// 注意y轴比例
  146.         }
  147.         ctx.stroke();
  148.         ctx.closePath();
  149.     }
  150.  
  151.     function drawAxisX(ctx){
  152.         ctx.save();
  153.  
  154.         ctx.lineWidth=0.5;
  155.         ctx.strokeStyle='navy';
  156.         ctx.fillStyle='navy';
  157.  
  158.         var start=-650;
  159.         var end=650;
  160.  
  161.         // 画轴
  162.         ctx.beginPath();
  163.         ctx.moveTo(start, 0);
  164.         ctx.lineTo(end, 0);
  165.         ctx.stroke();
  166.         ctx.closePath();
  167.  
  168.         // 画箭头
  169.         ctx.beginPath();
  170.         ctx.moveTo(end-Math.cos(getRad(15))*10, Math.sin(getRad(15))*10);
  171.         ctx.lineTo(end, 0);
  172.         ctx.lineTo(end-Math.cos(getRad(15))*10, -Math.sin(getRad(15))*10);
  173.         ctx.stroke();
  174.         ctx.closePath();
  175.  
  176.         // 画刻度
  177.         var x,y;
  178.         y=5;
  179.         for(x=start;x<end;x+=50){
  180.             ctx.beginPath();
  181.             ctx.moveTo(x, 0);
  182.             ctx.lineTo(x, y);
  183.  
  184.             ctx.stroke();
  185.             ctx.closePath();
  186.         }
  187.  
  188.         ctx.restore();
  189.     }
  190.  
  191.     function drawAxisXText(ctx){
  192.         ctx.lineWidth=0.5;
  193.         ctx.strokeStyle='navy';
  194.         ctx.fillStyle='navy';
  195.  
  196.         var start=-650;
  197.         var end=650;
  198.  
  199.         // 写文字
  200.         var x,y=5;
  201.         for(x=start;x<end;x+=50){
  202.             ctx.fillText(x/50,x,y+10);
  203.         }
  204.     }
  205.  
  206.     function drawAxisY(ctx){
  207.         ctx.save();
  208.  
  209.         ctx.lineWidth=0.5;
  210.         ctx.strokeStyle='navy';
  211.         ctx.fillStyle='navy';
  212.  
  213.         var start=-300;
  214.         var end=300;
  215.  
  216.         // 画轴
  217.         ctx.beginPath();
  218.         ctx.moveTo(0, start);
  219.         ctx.lineTo(0, end);
  220.         ctx.stroke();
  221.         ctx.closePath();
  222.  
  223.         // 画箭头
  224.         ctx.beginPath();
  225.         ctx.moveTo(Math.sin(getRad(15))*10, end-Math.cos(getRad(15))*10);
  226.         ctx.lineTo(0, end);
  227.         ctx.lineTo(-Math.sin(getRad(15))*10, end-Math.cos(getRad(15))*10);
  228.         ctx.stroke();
  229.         ctx.closePath();
  230.  
  231.         // 画刻度
  232.         var x,y;
  233.         x=5;
  234.         for(y=start;y<end;y+=5){// 注意y轴比例
  235.             ctx.beginPath();
  236.             ctx.moveTo(x, y);
  237.             ctx.lineTo(0, y);
  238.  
  239.             ctx.stroke();
  240.             ctx.closePath();
  241.         }
  242.     }
  243.  
  244.     function drawAxisYText(ctx){
  245.         ctx.lineWidth=0.5;
  246.         ctx.strokeStyle='navy';
  247.         ctx.fillStyle='navy';
  248.  
  249.         var start=-250;
  250.         var end=350;
  251.  
  252.         // 写文字
  253.         var x=-19,y=5;
  254.         for(y=start;y<end;y+=50){
  255.  
  256.             if(y!=0){
  257.                 ctx.fillText(-y/5,x,y);// 注意y轴比例
  258.             }
  259.         }
  260.     }
  261.  
  262.     function getRad(degree){
  263.         return degree/180*Math.PI;
  264.     }
  265.  
  266.     function cutShort(str,length){
  267.         if(str.length>length){
  268.             str=str.substr(0,length)+"...";
  269.         }
  270.  
  271.         return str;
  272.     }
  273. //-->
  274. </script>

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