传送门:Educational Codeforces Round 60 – D

 

题意:

给定N,M(n <1e18,m <= 100)

一个magic gem可以分裂成M个普通的gem,现在需要N个gem,可以选择一定的magic gem,指定每一个分裂或不分裂,问一共有多少种方案

两种分裂方案不同当且仅当magic gem的数量不同,或者分裂的magic gem的索引不同。

思路:

1.首先从dp的角度出发

设F(i)为最终需要i个gem的方案数,容易得到递推式:

(总方案数 = 最右边的magic gem分裂得到的方案数 + 最右边的magic gem不分裂得到的方案数)

2.观察数据范围可以看到,如果直接这样计算,时间复杂度是要上天的

我们可以把递推式求解转化成矩阵乘法求解

3.套用矩阵快速幂的板子,加速计算

参考代码:

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long ll;
#define _____ ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);
const int M = 1e9 + ;
//head ll n,m;
struct Mat{
ll a[][];
};
Mat mul(const Mat & a,const Mat & b){
Mat ans;
for(int i = ; i <= m; i++){
for(int j = ; j <= m; j++){
ans.a[i][j] = ;
for(int k = ; k <= m; k++){
ans.a[i][j] += a.a[i][k]*b.a[k][j];
if(ans.a[i][j] > M)ans.a[i][j] %= M;
}
}
}
return ans;
}
Mat quick_pow(Mat a,ll b){
Mat t;
for(int i = ; i <= m; i++)t.a[i][i] = ;
while(b){
if(b & )t = mul(t,a);
b >>= ;
a = mul(a,a);
}
return t;
}
int main(){
//freopen("data.in","r",stdin);
_____
cin >> n >> m;
if(n < m){cout << << '\n';}
else{
Mat ans,t;
for(int i = ; i < m; i++){
ans.a[i+][i] = ;
}
ans.a[][m] = ans.a[m][m] = ;
ans = quick_pow(ans,n-m);
Mat a;
for(int i = ; i < m; i++)a.a[][i] = ;
a.a[][m] = ;
a = mul(a,ans);
cout << a.a[][m] << '\n';
}
return ;
}

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