#对勾函数#洛谷 5695 [NOI2001]反正切函数的应用
题目
问给定的每一个\(a\),是否存在正整数\(b,c\),
使得在满足$$\arctan(\frac{1}{a})=\arctan(\frac{1}{b})+\arctan(\frac{1}{c})$$的情况下让\(b+c\)最小,并求出\(b+c\)
分析
因为题目中提到$$arctan(p)+arctan(q)=arctan(\frac{p+q}{1-pq})$$,所以也就是找到一种情况使$$\frac{1}{a}=\frac{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}{1-\frac{1}{bc}}$$
化简得到\(\frac{1}{a}=\frac{b+c}{bc-1}\)
但是关键是要把\(b+c\)用\(a\)和\(b,c\)中任意一个表示,
那么考虑先表示\(c\),那么$$c=\frac{ab+1}{b-a}$$
那么$$b+c=b+\frac{ab+1}{b-a}$$
考虑要把\(b\)变成一次项,那么$$b+c=\frac{b2-ab+ab+1}{b-a}=\frac{b2+1}{b-a}$$
\]
那就是\(y=ax+b/x\)对勾函数,那我只能用一个初中生能够脑补的开根号来解决,而且\(a^2+1\)应该是\(b-a\)的倍数,所以结果就出来了
代码
#include <cstdio>
#define rr register
using namespace std;
int A,a; long long t;
signed main(){
scanf("%d",&a),A=a;
for (t=1ll*a*a+1;t%A;++A); A+=a;
return !printf("%lld",A+(1ll*a*A+1)/(A-a));
}
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