灰狼优化算法(MOGWO)

摘要

固定大小的外部档案用来保存帕累托优化解
在多目标搜索空间中，这个档案被用来定义狼群社会等级和捕猎行为
这个算法在10个多目标测试集进行测试，并与MOEA/D和MOPSO进行对比

引言

将多个目标集成一个单一的目标

两个缺点：一个均匀分布的权重不能保证生成一组均匀分布的帕累托优化解集；由于不能使用负权重，且所有权重之和必须为常数，该方法无法找帕累托最优前沿的非凸区域。

MOPSO的收敛速度非常快，在多目标优化中容易出现假帕累托最优前沿过早终止的问题

GWO

该算法是模拟灰狼的社会领导关系和捕猎技术，为了模拟灰狼在狩猎过程中的包围行为，除了社会领导外，提出了一下方程：

t表示当前代数，A和C是向量系数，Xp表示猎物位置，X表示一只灰狼的位置，A和C的计算公式：

a是在迭代过程中从2线性减到0，r1和r2是[0,1]中的随机数，alpha、beta、gamma是前三个最优解。

A的随机值大于1或小于-1，保证了狼群和猎物的偏离，C有助于GWO在优化过程中表现出更随机的行为，有利于规避局部最优。当A的绝对值大于1时，狼群偏离猎物，当A的绝对值小于1时，狼群向猎物收敛。

MOGWO

MOGWO比起GWO多了两个新增部分：

一个档案用于存储所得帕累托最优解集和进行非支配排序
选择策略，用于选择alpha、beta、gamma作为领导。

MOGWO的伪代码如下：

MOGWO算法的收敛性是有保证的，因为它利用了相同的数学模型来搜索最优解。事实证明，GWO要求搜索智能体在优化的初期突然改变位置，在优化的后期逐渐改变位置。MOGWO算法继承了GWO的所有特征，这意味着搜索智能体以相同的方式探索和开发搜索空间。主要的区别是，MOGWO围绕一组存档个体进行搜索（即使存档没有变化，也可能不同)，而GWO只保存和改进三个最好的解。

MOGWO部分源代码如下，需要完整代码请联系我（免费）。

%% 清理空间

clear all

clc

close all

%% MOGWO算法参数

drawing_flag = 1;

% 测试函数及其细节确定

TestProblem='UF1';

nVar=10;

fobj = cec09(TestProblem);

xrange = xboundary(TestProblem, nVar);

lb=xrange(:,1)';

ub=xrange(:,2)';

VarSize=[1 nVar];

% 迭代次数、种群数量、存档数量

GreyWolves_num=100;

MaxIt=200; % Maximum Number of Iterations

Archive_size=100; % Repository Size

% 网格机制的参数

alpha=0.1; % Grid Inflation Parameter

nGrid=10; % Number of Grids per each Dimension

beta=4; % Leader Selection Pressure Parameter

gamma=2;

%% 种群初始化

GreyWolves=CreateEmptyParticle(GreyWolves_num);

for i=1:GreyWolves_num

GreyWolves(i).Velocity=0;%灰狼的初始速度为0

GreyWolves(i).Position=zeros(1,nVar);%灰狼的初始位置也为0

for j=1:nVar

GreyWolves(i).Position(1,j)=unifrnd(lb(j),ub(j),1);%灰狼的位置

end

GreyWolves(i).Cost=fobj(GreyWolves(i).Position')';

GreyWolves(i).Best.Position=GreyWolves(i).Position;

GreyWolves(i).Best.Cost=GreyWolves(i).Cost;

end

% 确定支配关系

GreyWolves=DetermineDomination(GreyWolves);

% 非支配解存档

Archive=GetNonDominatedParticles(GreyWolves);

% 网格机制

Archive_costs=GetCosts(Archive); % 存档种群的适应度

G=CreateHypercubes(Archive_costs,nGrid,alpha);

for i=1:numel(Archive)

[Archive(i).GridIndex Archive(i).GridSubIndex]=GetGridIndex(Archive(i),G);

end

%% 迭代

for it=1:MaxIt

a=2-it*((2)/MaxIt);

for i=1:GreyWolves_num

clear rep2

clear rep3

% 选头狼

% Choose the alpha, beta, and delta grey wolves

Delta=SelectLeader(Archive,beta);

Beta=SelectLeader(Archive,beta);

Alpha=SelectLeader(Archive,beta);

% If there are less than three solutions in the least crowded

% hypercube, the second least crowded hypercube is also found

% to choose other leaders from.

if size(Archive,1)>1

counter=0;

for newi=1:size(Archive,1)

if sum(Delta.Position_{=Archive(newi).Position)}=0

counter=counter+1;

rep2(counter,1)=Archive(newi);

end

end

Beta=SelectLeader(rep2,beta);

end

% This scenario is the same if the second least crowded hypercube

% has one solution, so the delta leader should be chosen from the

% third least crowded hypercube.

if size(Archive,1)>2

counter=0;

for newi=1:size(rep2,1)

if sum(Beta.Position_{=rep2(newi).Position)}=0

counter=counter+1;

rep3(counter,1)=rep2(newi);

end

end

Alpha=SelectLeader(rep3,beta);

end

% 同GWO一样

% Eq.(3.4) in the paper

c=2.*rand(1, nVar);

% Eq.(3.1) in the paper

D=abs(c.*Delta.Position-GreyWolves(i).Position);

% Eq.(3.3) in the paper

A=2.a.rand(1, nVar)-a;

% Eq.(3.8) in the paper

X1=Delta.Position-A.*abs(D);

% Eq.(3.4) in the paper

c=2.*rand(1, nVar);

% Eq.(3.1) in the paper

D=abs(c.*Beta.Position-GreyWolves(i).Position);

% Eq.(3.3) in the paper

A=2.a.rand()-a;

% Eq.(3.9) in the paper

X2=Beta.Position-A.*abs(D);

% Eq.(3.4) in the paper

c=2.*rand(1, nVar);

% Eq.(3.1) in the paper

D=abs(c.*Alpha.Position-GreyWolves(i).Position);

% Eq.(3.3) in the paper

A=2.a.rand()-a;

% Eq.(3.10) in the paper

X3=Alpha.Position-A.*abs(D);

% Eq.(3.11) in the paper

GreyWolves(i).Position=(X1+X2+X3)./3;

% Boundary checking

GreyWolves(i).Position=min(max(GreyWolves(i).Position,lb),ub);

GreyWolves(i).Cost=fobj(GreyWolves(i).Position')';

end

% 支配关系、存档、网格更新

GreyWolves=DetermineDomination(GreyWolves);

non_dominated_wolves=GetNonDominatedParticles(GreyWolves);

Archive=[Archive

non_dominated_wolves];

Archive=DetermineDomination(Archive);

Archive=GetNonDominatedParticles(Archive);

for i=1:numel(Archive)

[Archive(i).GridIndex Archive(i).GridSubIndex]=GetGridIndex(Archive(i),G);

end

if numel(Archive)>Archive_size

EXTRA=numel(Archive)-Archive_size;

Archive=DeleteFromRep(Archive,EXTRA,gamma);

Archive_costs=GetCosts(Archive);

G=CreateHypercubes(Archive_costs,nGrid,alpha);

end

disp(['In iteration ' num2str(it) ': Number of solutions in the archive = ' num2str(numel(Archive))]);

save results

% Results

costs=GetCosts(GreyWolves);

Archive_costs=GetCosts(Archive);

hold off

plot(costs(1,:),costs(2,:),'k.');

hold on

plot(Archive_costs(1,:),Archive_costs(2,:),'rd');

legend('Grey wolves','Non-dominated solutions');

drawnow

end