Polya定理与Burnside引理

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\(Burnside引理\)

• 公式
  \(\begin{aligned}L=\frac{1}{|G|}\sum_{i=1}^{|G|}D_{G_i}\end{aligned}\)
• 一些定义
  \(E_i\) 表示与\(i\)同类的方案
  \(Z_i\) 表示使\(i\)不变的置换
  \(G\) 表示所有的置换方法
  \(D_i\) 表示第\(i\)种置换能使多少方案不变
  \(n\) 表示方案总数
  \(L\) 表示本质不同的方案数

• 引理的引理
  \(|E_i|*|Z_i|=|G|\) \(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ //\)这个我不会证明
  \(\begin{aligned}n=\sum_{i=1}^{L}{|E_i|}\end{aligned}\)\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ //\)这个就是按照定义，注意的是\(E_i\)表示的是本质不同的第\(i\)种方案
  \(\begin{aligned}\sum_{i=1}^n|Z_i|=\sum_{i=1}^{|G|}D_{G_i}\end{aligned}\)\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ //\)这个也是按照定义，就是换了个计算方法，计算的是同样的东西

• Burnside引理
  \(\begin{aligned}\sum_{j=1}^n|Z_j|=\sum_{i=1}^L\sum_{j \in E_i}|Z_j|=\sum_{i=1}^L|E_i|·|Z_i|=L·|G| \end{aligned}\)
  \(\begin{aligned}\therefore L·|G|=\sum_{j=1}^{|G|}D_{G_i} \end{aligned}\)
  \(\begin{aligned}\therefore L=\frac{1}{|G|}\sum_{i=1}^{|G|}D_{G_i} \end{aligned}\)

\(Polya定理\)

• 公式
  \(\begin{aligned}L=\frac{1}{|G|}\sum_{i=1}^{|G|}m^{C_{G_i}}\end{aligned}\)
  其中\(m\)为颜色个数,\(C_i\)为第\(i\)种置换有多少个循环

\(一个置换的循环个数\)

一个项链有\(n\)个珠子,用\(k\)种颜色涂染会形成多少种不同的项链
两条可通过旋转得到的项链为相同项链

有\(n\)种置换方式\((\)每次旋转\(0,1,2...n\)个珠子\()\)
对于一次旋转\(i\)个珠子的方式，有\(gcd(i,n)\)个循环
证明
每个循环有的珠子的个数因是一样的
假设从\(x\)号珠子开始置换，循环结束时一定回到\(x\)号珠子 如\(x->(x+i-1)\%n+1->(x+2i-1)\%n+1->x\)
假设循环有\(p\)个珠子，那么循环\(p\)次就回到原来的珠子，此时转过\(i\)和\(n\)的最小公倍数个珠子
\(p·i=i·n/gcd(i,n) \ \ \ k\in Z\)
\(\therefore p=n/gcd(i,n)\)
每个循环有\(p\)个珠子那么就有\(n/p=gcd(i,n)\)个循环