[专题总结]初探插头dp

彻彻底底写到自闭的一个专题。

就是大型分类讨论，压行+宏定义很有优势。

常用滚动数组+哈希表+位运算。当然还有轮廓线。

Formula 1：

经过所有格子的哈密顿回路数。

每个非障碍点必须有且仅有2个插头（含上下左右）。

若左上都没有，那么新建两个插头1和2。

若左上只有一个插头，那么它就向右下方向之一延伸。

若左上都有，那么不建新插头。

如果是左1上2，那么就是形成了一条回路，当且仅当在全图右下角更新答案。

如果都是1，那么就要把右边的两个2改成一对插头，就是把靠右的一个1插头匹配的2插头改为1。

都是2同理。

如果是左2上1，那么就是链接了两个路径，两个插头抵消。

 #include<cstdio>
 #define cri const register int
 int bl[][],n,m,now,last=,ln,lm,fn,fm,r[]={,,-};long long ans;
 int read(){
     register char ch=getchar();
     while(ch!='*'&&ch!='.')ch=getchar();
     return ch=='*';
 }
 struct hash{
     int fir[],l[],to[],cnt;long long v[];
     void clear(){
         for(int i=;i<;++i)to[i]=-,fir[i]=v[i]=;cnt=;
     }
     long long &operator[](cri pos){
         int i;
         for(i=fir[pos%];i&&to[i]!=pos;i=l[i]);
         if(!i)l[++cnt]=fir[pos%],to[cnt]=pos,fir[pos%]=i=cnt;
         return v[i];
     }
 }f[];
 inline int find(cri st,cri p){return st>>(p-<<)&;}
 inline void set(int &st,cri p,cri k){st&=~(<<(p-<<));st|=k<<(p-<<);}
 inline int get(cri st,cri p){
     int dirc=(find(st,p)==)?:-;
     for(int i=p,pl=find(st,i),cnt=r[pl];i&&i<=m+;pl=find(st,i+=dirc),cnt+=r[pl])
         if(cnt==)return i;
 }
 int main(){
     scanf("%d%d",&n,&m);
     for(int i=;i<=n;++i)for(int j=;j<=m;++j){
         bl[i][j]=read();
         if(!bl[i][j])ln=i,lm=j;
         if(!fn&&!bl[i][j])fn=i,fm=j;
     }f[][]=;
     for(int i=;i<=n;++i)bl[i][m+]=;
     for(int i=;i<=m;++i)bl[n+][i]=;
     for(int i=fn;i<=n;++i){
         for(int j=(i==fn)?fm:;j<=m;++j){
             last^=;now^=; f[now].clear();
             for(int k=;k<=f[last].cnt;++k){
                 int st=f[last].to[k],p1=find(st,j),p2=find(st,j+);
                 long long v=f[last].v[k];//printf("%d %d %d %d %d %lld\n",i,j,st,p1,p2,v);
                 if(bl[i][j]&&(p1||p2))continue;
                 if(bl[i][j])f[now][st]+=v;
                 else if(!p1&&!p2){if(!bl[i][j+]&&!bl[i+][j])set(st,j,),set(st,j+,),f[now][st]+=v;}
                 else if(p1&&!p2){
                     if(!bl[i+][j])f[now][st]+=v;//,printf("---%d %d %lld %lld\n",i,j,v,f[now][st]);
                     if(!bl[i][j+])set(st,j+,p1),set(st,j,),f[now][st]+=v;
                 }
                 else if(!p1&&p2){
                     if(!bl[i][j+])f[now][st]+=v;
                     if(!bl[i+][j])set(st,j,p2),set(st,j+,),f[now][st]+=v;
                 }
                 else if(p1==&&p2==){if(i==ln&&j==lm)ans+=v;}
                 else if(p2==&&p1==)set(st,j,),set(st,j+,),f[now][st]+=v;
                 else if(p1==&&p2==)set(st,get(st,j+),),set(st,j,),set(st,j+,),f[now][st]+=v;
                 else if(p1==&&p2==)set(st,get(st,j),),set(st,j,),set(st,j+,),f[now][st]+=v;
             }
         }
         for(int i=;i<=f[now].cnt;++i)f[now].to[i]<<=;
     }
     printf("%lld\n",ans);
 }

当时我还不会压行

CITY

和上面同理，只不过限制了插头方向。

 #include<cstdio>
 #define int long long
 #define mod 54321
 int n,m,bl[][],ref[],fn,fm,ln,lm,last=,now,tf[]={,,-};long long ans;
 int read(){
     register char ch=getchar();
     while(ch!='.'&&ch!='#'&&ch!='-'&&ch!='|')ch=getchar();
     return ref[ch];
 }
 struct hash{
     int fir[mod],l[mod],to[mod],cnt;long long v[mod];
     void clear(){for(int i=;i<mod;++i)fir[i]=v[i]=,to[i]=-;cnt=;}
     long long &operator[](int p){
         int i;
         for(i=fir[p%mod];i&&to[i]!=p;i=l[i]);
         if(!i)l[++cnt]=fir[p%mod],fir[p%mod]=i=cnt,to[cnt]=p;
         return v[i];
     }
 }f[];
 int find(int st,int p){return st>>(p-<<)&;}
 void set(int &st,int p,int k){st&=~(<<(p-<<));st|=k<<(p-<<);}
 void reset(int &st,int p){
     for(int i=p,pl=find(st,i),di=tf[find(st,p)],cnt=di;i&&i<=m+;i+=di,pl=find(st,i),cnt+=tf[pl])
         if(!cnt){set(st,i,pl==?:);return;}
 }
 main(){
     scanf("%lld%lld",&n,&m);ref['#']=;ref['-']=;ref['|']=;
     for(int i=;i<=n;++i)for(int j=;j<=m;++j){
         bl[i][j]=read();
         if(!bl[i][j])ln=i,lm=j;
         if(!bl[i][j]&&!fn)fn=i,fm=j;
     }
     f[][]=;
     for(int i=;i<=n;++i)bl[i][m+]=;
     for(int i=;i<=m;++i)bl[n+][i]=;
     for(int i=fn;i<=n;++i){
         for(int j=(i==fn?fm:);j<=m;++j){
             last^=;now^=;f[now].clear();
             for(int k=;k<=f[last].cnt;++k){
                 int st=f[last].to[k],p1=find(st,j),p2=find(st,j+);long long v=f[last].v[k];//printf("%d %d %d %d %d %lld\n",i,j,st,p1,p2,v);
                 if(((bl[i][j]&)&&p2)||((bl[i][j]&)&&p1))continue;
                 if(bl[i][j]==){if(!p1&&!p2)f[now][st]+=v;continue;}
                 if(bl[i][j]==){if((!(bl[i+][j]&))&&p2&&!p1)set(st,j+,),set(st,j,p2),f[now][st]+=v;continue;}
                 if(bl[i][j]==){if((!(bl[i][j+]&))&&p1&&!p2)set(st,j,),set(st,j+,p1),f[now][st]+=v;continue;}
                 if(!p1&&!p2){if(!(bl[i][j+]&)&&!(bl[i+][j]&))set(st,j,),set(st,j+,),f[now][st]+=v;}
                 else if(p1&&!p2){
                     if(!(bl[i+][j]&))f[now][st]+=v;
                     if(!(bl[i][j+]&))set(st,j,),set(st,j+,p1),f[now][st]+=v;
                 }
                 else if(p2&&!p1){
                     if(!(bl[i][j+]&))f[now][st]+=v;
                     if(!(bl[i+][j]&))set(st,j+,),set(st,j,p2),f[now][st]+=v;
                 }
                 else if(p1==&&p2==){if(i==ln&&j==lm)ans+=v;}
                 else if(p2==&&p1==)set(st,j,),set(st,j+,),f[now][st]+=v;
                 else if(p1==&&p2==)reset(st,j+),set(st,j,),set(st,j+,),f[now][st]+=v;
                 else if(p1==&&p2==)reset(st,j),set(st,j,),set(st,j+,),f[now][st]+=v;
             }
         }
         for(int j=;j<=f[now].cnt;++j)f[now].to[j]<<=;
     }
     printf("%lld\n",ans);
 }

我依旧不会压行

邮递员

依旧同理。注意n或m=1。

 #include<cstdio>
 #define hash_mod 54321
 #define int_mod 100000000000000ll
 #define cri const register int
 int n,m;
 struct gj{
     long long x[];
     inline void clear(){x[]=x[]=x[]=x[]=x[]=;}
     inline void print(){
         int i;
         for(i=;i>=;--i)if(x[i]){printf("%lld",x[i]);break;}
         for(i--;i>=;--i)printf("%014lld",x[i]);puts("");
     }
     inline void operator+=(const gj &b){
         for(int i=;i>=;--i)x[i]+=b.x[i];
         for(int i=;i<=;++i)x[i+]+=x[i]/int_mod,x[i]%=int_mod;
     }
 }ans;
 struct hash_map{
     int fir[],l[],to[],cnt;gj v[];
     void clear(){
         for(int i=;i<;++i)fir[i]=,v[i].clear(),to[i]=-;
         cnt=;
     }
     gj &operator[](const int key){
         int pos=key%hash_mod,i;
         for(i=fir[pos];to[i]!=key&&i;i=l[i]);
         if(!i)to[++cnt]=key,l[cnt]=fir[pos],i=fir[pos]=cnt,v[cnt].clear();
         return v[i];
     }
 }hash[];
 inline int find(cri st,cri pos){return st>>(pos-<<)&;}
 inline int get(cri st,cri pos){
     int cnt=,dirc=(find(st,pos)==)?:-;
     for(int i=pos,plug=find(st,pos);i&&i<=m+;plug=find(st,i+=dirc)){
         if(plug==)cnt++;else if(plug==)cnt--;
         if(cnt==)return i;
     }
     return -;
 }
 inline void set(int &st,cri pos,cri kind){
     st|=<<(pos-<<);st^=<<(pos-<<);
     st|=kind<<(pos-<<);
 }
 void DP(cri x,cri y){
     int now=(x-)*m+y&,last=now^,tot=hash[last].cnt;
     hash[now].clear();
     for(int i=;i<=tot;++i){
         int st=hash[last].to[i],plug1=find(st,y),plug2=find(st,y+);
         gj v=hash[last].v[i];//printf("%d %d %d %d %d ",x,y,st,plug1,plug2);v.print();
         if(get(st,y)==-||get(st,y+)==-)continue;
         if(!plug1&&!plug2){if(y!=m&&x!=n)set(st,y,),set(st,y+,),hash[now][st]+=v;}
         else if(plug1&&!plug2){
             if(x!=n)hash[now][st]+=v;
             if(y!=m)set(st,y,),set(st,y+,plug1),hash[now][st]+=v;
         }
         else if(!plug1&&plug2){
             if(y!=m)hash[now][st]+=v;
             if(x!=n)set(st,y,plug2),set(st,y+,),hash[now][st]+=v;
         }
         else if(plug1==&&plug2==){if(x==n&&y==m)ans+=v;}
         else if(plug1==&&plug2==)set(st,y,),set(st,y+,),hash[now][st]+=v;
         else if(plug1==&&plug2==)
             set(st,get(st,y+),),set(st,y,),set(st,y+,),hash[now][st]+=v;
         else if(plug1==&&plug2==)
             set(st,get(st,y),),set(st,y,),set(st,y+,),hash[now][st]+=v;
     }//printf("%d--%d--%d\n",x,y,hash[now].cnt);
 }
 int main(){
     scanf("%d%d",&n,&m);
     hash[].clear();hash[][].x[]=;
     if(n==||m==){printf("");return ;}
     if(n<m)n^=m,m^=n,n^=m;
     for(int i=;i<=n;++i){
         for(int j=;j<=m;++j)DP(i,j);
         if(i!=n){
             int now=(i*m)&,tot=hash[now].cnt;
             for(int i=;i<=tot;++i)hash[now].to[i]<<=;
         }
     }
     if(ans.x[]==){puts("");return ;}
     ans+=ans;ans.print();
 }

我还是不会压行

地板

这个插头不太一样。

对于一个L型，其实只有转弯前和转弯后两种状态。分别做1，2。

空格的话，可以把这个点作为拐角，往右下两个方向延伸出两个已经拐弯的插头。

如果只有一个1插头，那么可以选择转弯与否。

如果两个1插头碰在一起，那么它们就在这里转弯，互相抵消。

如果只有一个2插头，那么就延伸就好了。

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 using namespace std;
 #define mod 20110520
 #define ad(a,b) add(dp[nx][set(set(st,j,a),j+1,b)],v)
 void add(int &a,int b){a+=b;if(a>mod)a-=mod;}
 int n,m,dp[][];char s[][];bool a[][];
 int find(int st,int num){return st>>num*-&;}
 int set(int st,int num,int v){return st^st&<<num*-^v<<num*-;}
 int main(){
     scanf("%d%d",&n,&m);
     for(int i=;i<=n;++i)scanf("%s",s[i]+);
     if(n<m){
         for(int i=;i<=n;++i)for(int j=;j<=m;++j)a[j][i]=s[i][j]=='_';
         n^=m^=n^=m;
     }else for(int i=;i<=n;++i)for(int j=;j<=m;++j)a[i][j]=s[i][j]=='_';
     int nw=,nx=;dp[][]=;
     for(int i=;i<=n;++i){
         for(int j=;j<=m;++j){
             nw^=;nx^=;
             for(int st=;st<<<m*+;++st)if(dp[nw][st]){
                 int l=find(st,j),u=find(st,j+),v=dp[nw][st];dp[nw][st]=;
                 if(!a[i][j]){if(l==&&u==)ad(,);continue;}
                 if(l==&&u==)ad(,),ad(,),ad(,);
                 else if(l==&&u==)ad(,),ad(,);
                 else if(l==&&u==)ad(,),ad(,);
                 else if(l==&&u==)ad(,);
                 else if(l==&&u==)ad(,),ad(,);
                 else if(l==&&u==)ad(,),ad(,);
             }
         }
         nw^=;nx^=;
         for(int st=;st<<<m*;++st)dp[nx][st<<]=dp[nw][st];
         for(int st=;st<<<m*+;++st)dp[nw][st]=;
     }printf("%d\n",dp[nx][]);
 }

然后我开始压行

标识设计

题意补充：笔画的宽度一定是1，棋盘不用占满，L型不能旋转。

因为不能旋转，所以只有一种插头。

但是不能占满，这个好说，只不过多了一种如果这个格子是空格的话也可以不增加新插头。

然后就退化一下上一题的代码，不过区分一下已经写了几个L就行。

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 using namespace std;
 int dp[][],n,m,w[][],stc,cts[],ans=-,nw,nx=;
 int find(int st,int num){return st>>num*&;}
 void sch(int al,int st){if(al==m+)cts[++stc]=st;else for(int i=;i<=;++i)sch(al+,st|i<<al*);}
 int set(int st,int num,int v){return st^st&<<num*^v<<num*;}
 void maxi(int &a,int b){if(a<b)a=b;}
 int rmat(int st,int p){for(int i=p+;;++i)if(find(st,i)==)return st-(<<i*);}
 int lmat(int st,int p){for(int i=p-;;--i)if(find(st,i)==)return st+(<<i*);}
 #define upd(a,b) maxi(dp[nx][set(set(st,j-1,a),j,b)],v)
 int main(){
     scanf("%d%d",&n,&m);memset(dp,0xa0,sizeof dp);
     for(int i=;i<=n;++i)for(int j=;j<=m;++j)scanf("%d",&w[i][j]);
     dp[nx][]=;sch(,);
     for(int i=;i<=n;++i){
         for(int j=;j<=m;++j){
             nw^=;nx^=;memset(dp[nx],0xa0,sizeof dp[nx]);
             for(int p=,st;p<=stc;++p)if(dp[nw][st=cts[p]]>=-){
                 int p1=find(st,j-),p2=find(st,j),v=dp[nw][st]+w[i][j];
                 if(p1==&&p2==)upd(,),maxi(dp[nx][st],dp[nw][st]);
                 if(p1==&&p2==)if(set(set(st,j-,),j,)==)maxi(ans,v);
                 if(p1==&&p2==)upd(,);
                 if((p1^p2)==)upd(,),upd(,);
                 if((p1^p2)==)upd(,),upd(,);
                 if(p1==&&p2==)maxi(dp[nx][rmat(set(set(st,j-,),j,),j)],v);
                 if(p1==&&p2==)maxi(dp[nx][lmat(set(set(st,j-,),j,),j)],v);
             }
         }
         nw^=;nx^=;memset(dp[nx],0xa0,sizeof dp[nx]);
         for(int p=,st;p<=stc;++p)if(cts[p]<<<m<<m)dp[nx][cts[p]<<]=dp[nw][cts[p]];
     }printf("%d\n",ans);
 }

压行越发熟练

Park II

毒瘤界的巅峰。

理论上有3个插头，16种情况，但是情况很多重复，所以可以压成9类。

因为这一题是路径而不是回路，而且也不用占满。

为了处理路径的问题，需要引进一种新的插头，就是一端为路径的端点，另一端在轮廓线上的插头，学习LadyLex称之为独立插头3。

所有插头合并情况如下：

1，两个空格：这个格子可以不放，也可以作为拐角放一对12插头，也可以作为路径端点在右下方向之一放一个3插头。

2，两个1/2：与回路的题做法一致。

3，两个3：如果没有其它插头，那么你已经让两个自由端联通了，如果不存在其它插头，那么就可以更新答案。

4，左1上2：在回路题里这样会形成回路，但是路径题不允许回路，所以不做操作。（也就是在代码里不用写出来这种情况）

5，左2上1：与回路的题做法一致。

6，只有一个插头：另一个可以向右下方向之一转弯。

7，只有一个3插头：它可以结束了，作为路径端点，这样的话如果没有其它插头就可以更新答案了。

8，只有一个1/2插头：它可以结束了，作为路径端点，这样的话与1/2配对的2/1插头应该变成孤立的3插头。

9，有一个1/2插头，另一个是3插头：它们匹配了，这样的话与1/2配对的2/1插头应该变成孤立的3插头。
没有其它情况了。

如果宏定义+压行足够优秀，这道题不一定会比前面的题长。

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 using namespace std;
 void maxi(int &a,int b){if(a<b)a=b;}
 int set(int st,int p,int v){return st^st&<<p*^v<<p*;}
 int get(int st,int p){return st>>p*&;}
 int mat(int st,int p,int v,int d,int g,int c=){
     for(;;p+=d)if(get(st,p)==g+){c--;if(!c)return st+(v-g-<<p*);}
         else if(get(st,p)==(g^)+)c++;
 }
 int dp[][],w,n,m,nx,nw=,ans,c[],ac[];
 #define up(a,b) maxi(dp[nx][set(set(st,j-1,a),j,b)],v)
 #define cl set(set(st,j-1,0),j,0)
 int main(){
     scanf("%d%d",&n,&m);
     memset(dp,0xa0,sizeof dp);dp[nx][]=;
     for(int i=;i<=n;++i){
         for(int j=;j<=m;++j){
             nw^=;nx^=;memset(dp[nx],0xa0,sizeof dp[nx]);scanf("%d",&w);
             for(int st=;st<<<m*+;++st)if(dp[nw][st]>-){
                 int p1=get(st,j-),p2=get(st,j),v=dp[nw][st]+w;
                 for(int q=;q<;++q)c[q]=;c[p1]++;c[p2]++;
                 if(c[]==)up(,),up(,),up(,),maxi(dp[nx][st],v-w);
                 if(c[]==)maxi(dp[nx][mat(cl,j,,,)],v);
                 if(c[]==)maxi(dp[nx][mat(cl,j,,-,)],v);
                 if(c[]==)if(!cl)maxi(ans,v);
                 if(p1==&p2==)up(,);
                 if(c[]==)up(p1|p2,),up(,p1|p2);
                 if(c[]&c[])if(!cl)maxi(ans,v);
                 if(c[]&(c[]|c[]))maxi(dp[nx][mat(cl,j,,,)],v);
                 if(c[]&(c[]|c[]))maxi(dp[nx][mat(cl,j,,-,)],v);
             }
         }
         nx^=;nw^=;memset(dp[nx],0xa0,sizeof dp[nx]);
         for(int st=;st<<<m*;++st)dp[nx][st<<]=dp[nw][st];
     }printf("%d\n",ans);
 }

毒瘤巅峰的压行巅峰

游览计划

插头dp的话不是很好做，开5种插头记录联通块就行了。

我没有这么写，我写的是最小斯坦纳树。

好像没听过很高端？实际上就是dp。

dp[i][j][st]表式包含(i,j)这个点的一个联通块所覆盖的景点集合为st（状态压缩）。

考虑转移：

首先如果(i,j)就是景点，编号为k，那么dp[i][j][k]=0;

这个点往四周扩展：dp[x][y][st]=min(dp[i][j][st]+w[x][y])

这个点的子集合并：dp[i][j][st]=min(dp[i][j][s1]+dp[i][j][s2]-w[i][j])，其中s1与s2的并集为st。

没了。

但是第一个转移出环了。用原来B组题里的那个SPFA解决循环dp就好了。

记录转移点回溯输出方案。

 #include<cstdio>
 #include<iostream>
 #include<cstring>
 using namespace std;
 const int xx[]={,,,-},yy[]={,-,,};
 #define tx x+xx[i]
 #define ty y+yy[i]
 int w[][],n,m,k=,dp[][][],pre[][][],qx[],qy[],iq[][],v[][];
 void SPFA(int st,int t=){
     for(int i=;i<=n;++i)for(int j=;j<=m;++j)if(dp[i][j][st]<)qx[++t]=i,qy[t]=j,iq[i][j]=;
     for(int h=,x,y;x=qx[h],y=qy[h],iq[x][y]=,h<=t;++h)for(int i=;i<;++i)
         if(tx&&ty&&tx<=n&&ty<=m&&dp[tx][ty][st]>dp[x][y][st]+w[tx][ty]){
             dp[tx][ty][st]=dp[x][y][st]+w[tx][ty];pre[tx][ty][st]=x<<|y<<|st;
             if(!iq[tx][ty])iq[qx[++t]=tx][qy[t]=ty]=;
         }
 }
 void dfs(int x,int y,int st){
     v[x][y]=;int px=pre[x][y][st]>>,py=pre[x][y][st]>>&,pst=pre[x][y][st]&;
     if(!pre[x][y][st])return;
     dfs(px,py,pst);if(x==px&&y==py)dfs(px,py,st^pst);
 }
 int main(){
     scanf("%d%d",&n,&m);memset(dp,0x3f,sizeof dp);
     for(int i=;i<=n;++i)for(int j=;j<=m;++j)scanf("%d",&w[i][j]);
     for(int i=;i<=n;++i)for(int j=;j<=m;++j)if(!w[i][j])dp[i][j][k]=,k<<=;
     for(int st=;st<k;++st){
         for(int i=;i<=n;++i)for(int j=;j<=m;++j)for(int s=st&st-;s;s=s-&st)
             if(dp[i][j][st]>dp[i][j][s]+dp[i][j][st^s]-w[i][j])
                 dp[i][j][st]=dp[i][j][s]+dp[i][j][st^s]-w[i][j],pre[i][j][st]=i<<|j<<|s;
         SPFA(st);
     }
     for(int i=;i<=n;++i)for(int j=;j<=m;++j)if(!w[i][j]){
         dfs(i,j,k-);printf("%d\n",dp[i][j][k-]);
         for(int i=;i<=n;++i,puts(""))for(int j=;j<=m;++j)putchar(w[i][j]?(v[i][j]?'o':'_'):'x');
         return ;
     }
 }

难写所以没压行