AVL自平衡二叉树
详细的具体步骤 :
一篇讲的很好博客
AVL,红黑树优先博客-Never
先对二叉树的不平衡结构进行总结:
各种旋转 特别注意字母含义(结构)和其旋转操作之间的区别
| 二叉树不平衡结构 | 性质 | 平衡操作 |
|---|---|---|
| LL | root bf =2 | root->left 进行右旋操作 |
| RR | root bf=-2 | root->right 进行左旋操作 |
| LR | root bf=2,root->left bf=-1 | root->left 进行 RR左旋操作，root根结点进行LL右旋操作 |
| RL | root bf=-2,root->right bf=1 | root->right 进行LL 右旋操作，root根结点进行RR左旋操作 |
cpp的完整实现
AVL.c文件中也有图 旋转步骤
// 1.LL : left-left
/*
* 对于LL只需要进行单旋转就可以
*/
/*
* insert node =i
*
* k2 k1
* / \ 平衡 / \
* k1 z -----\ x k2
* / \ -----/ \ / \
* x y i y z
* \
* i
*/
static Node* left_left_rotation(AVLTree k2)
{
// 结点重新连接
AVLTree k1;
k1=k2->left; // 得到旋转后的根结点
k2->left=k1->right; // y结点进行修改
k1->right=k2; // 原根结点向右旋转
// 结点高度保存值的update 更新
k2->height=MAX(HEIGHT(k2->right),HEIGHT(k2->left))+1;
k1->height=MAX(HEIGHT(k1->left),k2->height)+1;
return k1; // 返回新根结点
}
// 2 RR right_right
/*
* RR也是自需要进行单旋转
* insert node =i
*
* k2 k1
* / \ / \
* x k1 ------\ k2 z
* / \ ------/ / \ \
* y z x y i
* \
* i
*/
static Node* right_right_rotation(AVLTree k2)
{
AVLTree k1;
k1=k2->right;
k2->right=k1->left;
k1->left=k2;
k2->height=MAX(HEIGHT(k2->left),HEIGHT(k2->right))+1;
k1->HEIGHT=MAX(HEIGHT(k1->right),k2->height)+1;
return k1;
}
// 3 LR left_right
/*
* LR 需要进行双旋转才可以恢复平衡
* 第一步，对left结点 RR
* 第二步，根结点进行LL
*
* k3 k3 k2
* / \ RR / \ LL / \
* k1 d ----\ k2 d ----\ k1 k3
* / \ ----/ / \ ----/ / \ / \
* a k2 k1 c a b c d
* / \ / \
* b c a b
*/
static Node* left_right_rotation(AVLTree k3)
{
k3->left=right_right_rotation(k3->left);
return left_left_rotation(k3);
}
// 4 RL right_left
/*
* RL 需要惊醒双旋转
* 第一步，对right结点进行LL
* 第二步，对根结点进行RR
*
* k1 k1 k2
* / \ LL / \ RR / \
* a k3 ----\ a k2 -----\ k1 k3
* / \ ----/ / \ -----/ / \ / \
* k2 d b k3 a b c d
* / \ / \
* b c c d
*/
static Node* right_left_rotation(AVLTree k1)
{
k1->right=left_left_rotation(k1->right);
return right_right_rotation(k1);
}
附上完整实现的CPP代码
头文件
#ifndef _AVL_TREE_HPP_
#define _AVL_TREE_HPP_
#include <iomanip>
#include <iostream>
using namespace std;
template <class T>
class AVLTreeNode{
public:
T key; // 关键字(键值)
int height; // 高度
AVLTreeNode *left; // 左孩子
AVLTreeNode *right; // 右孩子
AVLTreeNode(T value, AVLTreeNode *l, AVLTreeNode *r):
key(value), height(0),left(l),right(r) {}
};
template <class T>
class AVLTree {
private:
AVLTreeNode<T> *mRoot; // 根结点
public:
AVLTree();
~AVLTree();
// 获取树的高度
int height();
// 获取树的高度
int max(int a, int b);
// 前序遍历"AVL树"
void preOrder();
// 中序遍历"AVL树"
void inOrder();
// 后序遍历"AVL树"
void postOrder();
// (递归实现)查找"AVL树"中键值为key的节点
AVLTreeNode<T>* search(T key);
// (非递归实现)查找"AVL树"中键值为key的节点
AVLTreeNode<T>* iterativeSearch(T key);
// 查找最小结点：返回最小结点的键值。
T minimum();
// 查找最大结点：返回最大结点的键值。
T maximum();
// 将结点(key为节点键值)插入到AVL树中
void insert(T key);
// 删除结点(key为节点键值)
void remove(T key);
// 销毁AVL树
void destroy();
// 打印AVL树
void print();
private:
// 获取树的高度
int height(AVLTreeNode<T>* tree) ;
// 前序遍历"AVL树"
void preOrder(AVLTreeNode<T>* tree) const;
// 中序遍历"AVL树"
void inOrder(AVLTreeNode<T>* tree) const;
// 后序遍历"AVL树"
void postOrder(AVLTreeNode<T>* tree) const;
// (递归实现)查找"AVL树x"中键值为key的节点
AVLTreeNode<T>* search(AVLTreeNode<T>* x, T key) const;
// (非递归实现)查找"AVL树x"中键值为key的节点
AVLTreeNode<T>* iterativeSearch(AVLTreeNode<T>* x, T key) const;
// 查找最小结点：返回tree为根结点的AVL树的最小结点。
AVLTreeNode<T>* minimum(AVLTreeNode<T>* tree);
// 查找最大结点：返回tree为根结点的AVL树的最大结点。
AVLTreeNode<T>* maximum(AVLTreeNode<T>* tree);
// LL：左左对应的情况(左单旋转)。
AVLTreeNode<T>* leftLeftRotation(AVLTreeNode<T>* k2);
// RR：右右对应的情况(右单旋转)。
AVLTreeNode<T>* rightRightRotation(AVLTreeNode<T>* k1);
// LR：左右对应的情况(左双旋转)。
AVLTreeNode<T>* leftRightRotation(AVLTreeNode<T>* k3);
// RL：右左对应的情况(右双旋转)。
AVLTreeNode<T>* rightLeftRotation(AVLTreeNode<T>* k1);
// 将结点(z)插入到AVL树(tree)中
AVLTreeNode<T>* insert(AVLTreeNode<T>* &tree, T key);
// 删除AVL树(tree)中的结点(z)，并返回被删除的结点
AVLTreeNode<T>* remove(AVLTreeNode<T>* &tree, AVLTreeNode<T>* z);
// 销毁AVL树
void destroy(AVLTreeNode<T>* &tree);
// 打印AVL树
void print(AVLTreeNode<T>* tree, T key, int direction);
};
/*
* 构造函数
*/
template <class T>
AVLTree<T>::AVLTree():mRoot(NULL)
{
}
/*
* 析构函数
*/
template <class T>
AVLTree<T>::~AVLTree()
{
destroy(mRoot);
}
/*
* 获取树的高度
*/
template <class T>
int AVLTree<T>::height(AVLTreeNode<T>* tree)
{
if (tree != NULL)
return tree->height;
return 0;
}
template <class T>
int AVLTree<T>::height()
{
return height(mRoot);
}
/*
* 比较两个值的大小
*/
template <class T>
int AVLTree<T>::max(int a, int b)
{
return a>b ? a : b;
}
/*
* 前序遍历"AVL树"
*/
template <class T>
void AVLTree<T>::preOrder(AVLTreeNode<T>* tree) const
{
if(tree != NULL)
{
cout<< tree->key << " " ;
preOrder(tree->left);
preOrder(tree->right);
}
}
template <class T>
void AVLTree<T>::preOrder()
{
preOrder(mRoot);
}
/*
* 中序遍历"AVL树"
*/
template <class T>
void AVLTree<T>::inOrder(AVLTreeNode<T>* tree) const
{
if(tree != NULL)
{
inOrder(tree->left);
cout<< tree->key << " " ;
inOrder(tree->right);
}
}
template <class T>
void AVLTree<T>::inOrder()
{
inOrder(mRoot);
}
/*
* 后序遍历"AVL树"
*/
template <class T>
void AVLTree<T>::postOrder(AVLTreeNode<T>* tree) const
{
if(tree != NULL)
{
postOrder(tree->left);
postOrder(tree->right);
cout<< tree->key << " " ;
}
}
template <class T>
void AVLTree<T>::postOrder()
{
postOrder(mRoot);
}
/*
* (递归实现)查找"AVL树x"中键值为key的节点
*/
template <class T>
AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::search(AVLTreeNode<T>* x, T key) const
{
if (x==NULL || x->key==key)
return x;
if (key < x->key)
return search(x->left, key);
else
return search(x->right, key);
}
template <class T>
AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::search(T key)
{
return search(mRoot, key);
}
/*
* (非递归实现)查找"AVL树x"中键值为key的节点
*/
template <class T>
AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::iterativeSearch(AVLTreeNode<T>* x, T key) const
{
while ((x!=NULL) && (x->key!=key))
{
if (key < x->key)
x = x->left;
else
x = x->right;
}
return x;
}
template <class T>
AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::iterativeSearch(T key)
{
return iterativeSearch(mRoot, key);
}
/*
* 查找最小结点：返回tree为根结点的AVL树的最小结点。
*/
template <class T>
AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::minimum(AVLTreeNode<T>* tree)
{
if (tree == NULL)
return NULL;
while(tree->left != NULL)
tree = tree->left;
return tree;
}
template <class T>
T AVLTree<T>::minimum()
{
AVLTreeNode<T> *p = minimum(mRoot);
if (p != NULL)
return p->key;
return (T)NULL;
}
/*
* 查找最大结点：返回tree为根结点的AVL树的最大结点。
*/
template <class T>
AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::maximum(AVLTreeNode<T>* tree)
{
if (tree == NULL)
return NULL;
while(tree->right != NULL)
tree = tree->right;
return tree;
}
template <class T>
T AVLTree<T>::maximum()
{
AVLTreeNode<T> *p = maximum(mRoot);
if (p != NULL)
return p->key;
return (T)NULL;
}
/*
* LL：左左对应的情况(左单旋转)。
*
* 返回值：旋转后的根节点
*/
template <class T>
AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::leftLeftRotation(AVLTreeNode<T>* k2)
{
AVLTreeNode<T>* k1;
k1 = k2->left;
k2->left = k1->right;
k1->right = k2;
k2->height = max( height(k2->left), height(k2->right)) + 1;
k1->height = max( height(k1->left), k2->height) + 1;
return k1;
}
/*
* RR：右右对应的情况(右单旋转)。
*
* 返回值：旋转后的根节点
*/
template <class T>
AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::rightRightRotation(AVLTreeNode<T>* k1)
{
AVLTreeNode<T>* k2;
k2 = k1->right;
k1->right = k2->left;
k2->left = k1;
k1->height = max( height(k1->left), height(k1->right)) + 1;
k2->height = max( height(k2->right), k1->height) + 1;
return k2;
}
/*
* LR：左右对应的情况(左双旋转)。
*
* 返回值：旋转后的根节点
*/
template <class T>
AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::leftRightRotation(AVLTreeNode<T>* k3)
{
k3->left = rightRightRotation(k3->left);
return leftLeftRotation(k3);
}
/*
* RL：右左对应的情况(右双旋转)。
*
* 返回值：旋转后的根节点
*/
template <class T>
AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::rightLeftRotation(AVLTreeNode<T>* k1)
{
k1->right = leftLeftRotation(k1->right);
return rightRightRotation(k1);
}
/*
* 将结点插入到AVL树中，并返回根节点
*
* 参数说明：
* tree AVL树的根结点
* key 插入的结点的键值
* 返回值：
* 根节点
*/
template <class T>
AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::insert(AVLTreeNode<T>* &tree, T key)
{
if (tree == NULL)
{
// 新建节点
tree = new AVLTreeNode<T>(key, NULL, NULL);
if (tree==NULL)
{
cout << "ERROR: create avltree node failed!" << endl;
return NULL;
}
}
else if (key < tree->key) // 应该将key插入到"tree的左子树"的情况
{
tree->left = insert(tree->left, key);
// 插入节点后，若AVL树失去平衡，则进行相应的调节。
if (height(tree->left) - height(tree->right) == 2)
{
if (key < tree->left->key)
tree = leftLeftRotation(tree);
else
tree = leftRightRotation(tree);
}
}
else if (key > tree->key) // 应该将key插入到"tree的右子树"的情况
{
tree->right = insert(tree->right, key);
// 插入节点后，若AVL树失去平衡，则进行相应的调节。
if (height(tree->right) - height(tree->left) == 2)
{
if (key > tree->right->key)
tree = rightRightRotation(tree);
else
tree = rightLeftRotation(tree);
}
}
else //key == tree->key)
{
cout << "添加失败：不允许添加相同的节点！" << endl;
}
tree->height = max( height(tree->left), height(tree->right)) + 1;
return tree;
}
template <class T>
void AVLTree<T>::insert(T key)
{
insert(mRoot, key);
}
/*
* 删除结点(z)，返回根节点
*
* 参数说明：
* tree AVL树的根结点
* z 待删除的结点
* 返回值：
* 根节点
*/
template <class T>
AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::remove(AVLTreeNode<T>* &tree, AVLTreeNode<T>* z)
{
// 根为空 或者 没有要删除的节点，直接返回NULL。
if (tree==NULL || z==NULL)
return NULL;
if (z->key < tree->key) // 待删除的节点在"tree的左子树"中
{
tree->left = remove(tree->left, z);
// 删除节点后，若AVL树失去平衡，则进行相应的调节。
if (height(tree->right) - height(tree->left) == 2)
{
AVLTreeNode<T> *r = tree->right;
if (height(r->left) > height(r->right))
tree = rightLeftRotation(tree);
else
tree = rightRightRotation(tree);
}
}
else if (z->key > tree->key)// 待删除的节点在"tree的右子树"中
{
tree->right = remove(tree->right, z);
// 删除节点后，若AVL树失去平衡，则进行相应的调节。
if (height(tree->left) - height(tree->right) == 2)
{
AVLTreeNode<T> *l = tree->left;
if (height(l->right) > height(l->left))
tree = leftRightRotation(tree);
else
tree = leftLeftRotation(tree);
}
}
else // tree是对应要删除的节点。
{
// tree的左右孩子都非空
if ((tree->left!=NULL) && (tree->right!=NULL))
{
if (height(tree->left) > height(tree->right))
{
// 如果tree的左子树比右子树高；
// 则(01)找出tree的左子树中的最大节点
// (02)将该最大节点的值赋值给tree。
// (03)删除该最大节点。
// 这类似于用"tree的左子树中最大节点"做"tree"的替身；
// 采用这种方式的好处是：删除"tree的左子树中最大节点"之后，AVL树仍然是平衡的。
AVLTreeNode<T>* max = maximum(tree->left);
tree->key = max->key;
tree->left = remove(tree->left, max);
}
else
{
// 如果tree的左子树不比右子树高(即它们相等，或右子树比左子树高1)
// 则(01)找出tree的右子树中的最小节点
// (02)将该最小节点的值赋值给tree。
// (03)删除该最小节点。
// 这类似于用"tree的右子树中最小节点"做"tree"的替身；
// 采用这种方式的好处是：删除"tree的右子树中最小节点"之后，AVL树仍然是平衡的。
AVLTreeNode<T>* min = maximum(tree->right);
tree->key = min->key;
tree->right = remove(tree->right, min);
}
}
else
{
AVLTreeNode<T>* tmp = tree;
tree = (tree->left!=NULL) ? tree->left : tree->right;
delete tmp;
}
}
return tree;
}
template <class T>
void AVLTree<T>::remove(T key)
{
AVLTreeNode<T>* z;
if ((z = search(mRoot, key)) != NULL)
mRoot = remove(mRoot, z);
}
/*
* 销毁AVL树
*/
template <class T>
void AVLTree<T>::destroy(AVLTreeNode<T>* &tree)
{
if (tree==NULL)
return ;
if (tree->left != NULL)
destroy(tree->left);
if (tree->right != NULL)
destroy(tree->right);
delete tree;
}
template <class T>
void AVLTree<T>::destroy()
{
destroy(mRoot);
}
/*
* 打印"二叉查找树"
*
* key -- 节点的键值
* direction -- 0，表示该节点是根节点;
* -1，表示该节点是它的父结点的左孩子;
* 1，表示该节点是它的父结点的右孩子。
*/
template <class T>
void AVLTree<T>::print(AVLTreeNode<T>* tree, T key, int direction)
{
if(tree != NULL)
{
if(direction==0) // tree是根节点
cout << setw(2) << tree->key << " is root" << endl;
else // tree是分支节点
cout << setw(2) << tree->key << " is " << setw(2) << key << "'s " << setw(12) << (direction==1?"right child" : "left child") << endl;
print(tree->left, tree->key, -1);
print(tree->right,tree->key, 1);
}
}
template <class T>
void AVLTree<T>::print()
{
if (mRoot != NULL)
print(mRoot, mRoot->key, 0);
}
#endif
函数文件
/**
* Cpp 语言: AVL树
*
* @author skywang
* @date 2013/11/07
* test_code
*/
#include <iostream>
#include "AVLTree.h"
using namespace std;
static int arr[]= {3,2,1,4,5,6,7,16,15,14,13,12,11,10,8,9};
#define TBL_SIZE(a) ( (sizeof(a)) / (sizeof(a[0])) )
int main()
{
int i,ilen;
AVLTree<int>* tree=new AVLTree<int>();
cout << "== 依次添加: ";
ilen = TBL_SIZE(arr);
for(i=0; i<ilen; i++)
{
cout << arr[i] <<" ";
tree->insert(arr[i]);
}
cout << "\n== 前序遍历: ";
tree->preOrder();
cout << "\n== 中序遍历: ";
tree->inOrder();
cout << "\n== 后序遍历: ";
tree->postOrder();
cout << endl;
cout << "== 高度: " << tree->height() << endl;
cout << "== 最小值: " << tree->minimum() << endl;
cout << "== 最大值: " << tree->maximum() << endl;
cout << "== 树的详细信息: " << endl;
tree->print();
i = 8;
cout << "\n== 删除根节点: " << i;
tree->remove(i);
cout << "\n== 高度: " << tree->height() ;
cout << "\n== 中序遍历: " ;
tree->inOrder();
cout << "\n== 树的详细信息: " << endl;
tree->print();
// 销毁二叉树
tree->destroy();
return 0;
}
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