JavaScript算法模式——动态规划和贪心算法

动态规划

　　动态规划（Dynamic Programming，DP）是一种将复杂问题分解成更小的子问题来解决的优化算法。下面有一些用动态规划来解决实际问题的算法：

最少硬币找零

　　给定一组硬币的面额，以及要找零的钱数，计算出符合找零钱数的最少硬币数量。例如，美国硬币面额有1、5、10、25这四种面额，如果要找36美分的零钱，则得出的最少硬币数应该是1个25美分、1个10美分和1个1美分共三个硬币。这个算法要解决的就是诸如此类的问题。我们来看看如何用动态规划的方式来解决。

　　对于每一种面额，我们都分别计算所需要的硬币数量。具体算法如下：

1. 如果全部用1美分的硬币，一共需要36个硬币
2. 如果用5美分的硬币，则需要7个5美分的硬币 + 1个1美分的硬币 = 8个硬币
3. 如果用10美分的硬币，则需要3个10美分的硬币 + 1个5美分的硬币 + 1个1美分的硬币 = 5个硬币
4. 如果用25美分的硬币，则需要1个25美分的硬币 + 1个10美分的硬币 + 1个1美分的硬币 = 3个硬币

　　对应的示意图如下：

　　方案4的硬币总数最少，因此为最优方案。

　　具体的代码实现如下：

function minCoinChange(coins, amount) {
    let result = null;
    if (!amount) return result;

    const makeChange = (index, value, min) => {
        let coin = coins[index];
        let newAmount = Math.floor(value / coin);
        if (newAmount) min[coin] = newAmount;
        if (value % coin !== 0) {
            makeChange(--index, value - coin * newAmount, min);
        }
    };

    const arr = [];
    for (let i = 0; i < coins.length; i++) {
        const cache = {};
        makeChange(i, amount, cache);
        arr.push(cache);
    }

    console.log(arr);
    let newMin = 0;
    arr.forEach(item => {
        let min = 0;
        for (let v in item) min += item[v];
        if (!newMin || min < newMin) {
            newMin = min;
            result = item;
        }
    });
    return result;
}

　　函数minCoinChange()接收一组硬币的面额，以及要找零的钱数。我们将上面例子中的值传入：

const result = minCoinChange2([1, 5, 10, 25], 36);
console.log(result);

　　得到如下结果：

[
  { '':  },
  { '': , '':  },
  { '': , '': , '':  },
  { '': , '': , '':  }
]
{ '': , '': , '':  }

　　上面的数组是我们在代码中打印出来的arr的值，用来展示四种不同面额的硬币作为找零硬币时，实际所需要的硬币种类和数量。最终，我们会计算arr数组中硬币总数最少的那个方案，作为minCoinChange()函数的输出。

　　当然在实际应用中，我们可以把硬币抽象成任何你需要的数字，这个算法能给出你满足结果的最小组合。

背包问题

　　背包问题是一个组合优化问题，它被描述为：给定一个具有固定容量的背包capacity，以及一组具有价值（value）和重量（weight）的物品，找出一个最优方案，使得装入背包的物品的总重量不超过capacity，且总价值最大。

　　假设我们有以下物品，且背包的总容量为5：

物品#	重量	价值
1	2	3
2	3	4
3	4	5

　　我们用矩阵来解决这个问题。首先，我们把物品和背包的容量组成如下矩阵：

物品(i)/重量(w)	0	1	2	3	4	5
0	0	0	0	0	0	0
1 (w=2, v=3)	0	0	a: 3+[0][2-2]=3+0 b: [0][2]=0 max(3+0,0)=3	a: 3+[0][3-2]=3+0 b: [0][3]=0 max(3+0,0)=3	a: 3+[0][4-3]=3+0 b: [0][4]=0 max(3+0,0)=3	a: 3+[0][5-3]=3+0 b: [0][5]=0 max(3+0,0)=3
2 (w=3, v=4)	0	0	3	a: 4+[1][3-3]=4+0 b: [1][3]=3 max(4+0,3)=4	a: 4+[1][4-3]=4+0 b: [1][4]=3 max(4+0,3)=4	a: 4+[1][5-3]=4+3 b: [1][5]=3 max(4+3,3)=7
3 (w=4, v=5)	0	0	3	4	a: 5+[2][4-4]=5+0 b: [2][4]=4 max(5+0,4)=5	a: 5+[2][5-4]=5+0 b: [2][5]=7 max(5+0,7)=7

　　为了便于理解，我们将矩阵kS的第一列和第一行忽略（因为它们表示的是容量0和第0个物品）。然后，按照要求往矩阵的格子里填数。如果当前的格子能放下对应的物品，存在以下两种情况：

• a - 放入当前物品，然后剩余的重量再放入前一个物品
• b - 不放入当前物品，放入前一个物品

　　在上面的表格中，

1. 当背包的重量为1时，没有物品能放入，所以都是0，这个很好理解。
2. 当背包的重量为2时，物品1可以放入，那么存在两种情况：放入物品1（价值为3），剩余的重量（背包的重量2减去物品1的重量2，结果为0）再放入前一个物品；不放入物品1，放入前一个物品[0][2]，价值为0。所以最大价值就是max(3, 0)=3。
3. ......
4. 当背包的重量为5时，放入物品2，两种情况：放入物品2（价值为4），剩余的重量（背包的重量5减去物品2的重量3，结果为2）再放入前一个物品，是[1][2]，对应的价值是3；不放入物品2，，放入前一个物品[1][5]，价值为3。所以最大价值就是max(4+3, 3)=7。
5. ......

　　如果当前物品不能放入背包，则忽略它，用前一个值代替。我们可以按照上面描述的过程把剩余的格子都填满，这样表格中最后一个单元格里的值就是最优方案。

　　下面是具体的实现代码：

function knapSack(capacity, weights, values, n) {
    const kS = [];

    // 将ks初始化为一个空的矩阵
    for (let i = 0; i <= n; i++) {
        kS[i] = [];
    }

    for (let i = 0; i <= n; i++) {
        for (let w = 0; w <= capacity; w++) {
            // 忽略矩阵的第1列和第1行
            if (i === 0 || w === 0) {
                kS[i][w] = 0;
            }
            else if (weights[i - 1] <= w) {
                const a = values[i - 1] + kS[i - 1][w - weights[i - 1]];
                const b = kS[i - 1][w];
                kS[i][w] = Math.max(a, b);
            }
            else {
                kS[i][w] = kS[i - 1][w];
            }
        }
    }

    console.log(kS);
}

　　对于const a，其价值分为两部分，第一部分就是它自己的价值（values[i - 1]），第二部分是用背包剩余的重量（w - weights[i - 1]）装进前一个物品（kS[i - 1]）。对于const b，就是找前一个能放入这个重量的物品（kS[i - 1][w]）。然后取这两种情况下的最大值。

　　测试一下knapSack()函数，

const capacity = 5;
const weights = [2, 3, 4];
const values = [3, 4, 5];
knapSack(capacity, weights, values, weights.length);

　　下面是矩阵kS的输出结果：

[
  [ , , , , ,  ],
  [ , , , , ,  ],
  [ , , , , ,  ],
  [ , , , , ,  ]
]

最长公共子序列（LCS）

　　找出两个字符串序列的最长子序列的长度。所谓最长子序列，是指两个字符串序列中以相同顺序出现，但不要求连续的字符串序列。例如下面两个字符串：

　　字符串1：acbaed

　　字符串2：abcadf

　　则LCS为acad。

　　和背包问题的思路类似，我们用下面的表格来描述整个过程：

		a	b	c	a	d	f
	0	0	0	0	0	0	0
a	0	1	1	1	1	1	1
c	0	1	1	2	2	2	2
b	0	1	2	2	2	2	2
a	0	1	2	2	3	3	3
e	0	1	2	2	3	3	3
d	0	1	2	2	3	4	4

　　矩阵的第一行和第一列都被设置为0，剩余的部分，遵循下面两种情况：

• 如果wordX[i - 1]和wordY[j - 1]相等，则矩阵对应的单元格的值为单元格[i - 1][j - 1]的值加1。
• 如果wordX[i - 1]和wordY[j - 1]不相等，则找出单元格[i - 1][j]和单元格[i][j - 1]之间的最大值。

　　下面是具体的实现代码：

function lcs(wordX, wordY) {
    const m = wordX.length;
    const n = wordY.length;
    const l = [];
    for (let i = 0; i <= m; i++) {
        l[i] = [];
        for (let j = 0; j <= n; j++) {
            l[i][j] = 0;
        }
    }
    for (let i = 0; i <= m; i++) {
        for (let j = 0; j <= n; j++) {
            if (i === 0 || j === 0) {
                l[i][j] = 0;
            } else if (wordX[i - 1] === wordY[j - 1]) {
                l[i][j] = l[i - 1][j - 1] + 1;
            } else {
                const a = l[i - 1][j];
                const b = l[i][j - 1];
                l[i][j] = Math.max(a, b);
            }
        }
    }
    console.log(l);
    console.log(l[m][n]);
}

　　我们将矩阵打印出来，结果如下：

const wordX = ['a', 'c', 'b', 'a', 'e', 'd'];
const wordY = ['a', 'b', 'c', 'a', 'd', 'f'];
lcs(wordX, wordY);

[
  [ , , , , , ,  ],
  [ , , , , , ,  ],
  [ , , , , , ,  ],
  [ , , , , , ,  ],
  [ , , , , , ,  ],
  [ , , , , , ,  ],
  [ , , , , , ,  ]
]

　　矩阵中最后一个单元格的值为LCS的长度。那如何计算出LCS的具体内容呢？我们可以设计一个相同的solution矩阵，用来做标记，如果wordX[i - 1]和wordY[j - 1]相等，则将solution矩阵中对应的值设置为'diagonal'，即上面表格中背景为灰色的单元格。否则，根据[i][j]和[i - 1][j]是否相等标记为'top'或'left'。然后通过printSolution()方法来找出LCS的内容。修改之后的代码如下：

function printSolution(solution, wordX, m, n) {
    let a = m;
    let b = n;
    let x = solution[a][b];
    let answer = '';
    while (x !== '0') {
        if (solution[a][b] === 'diagonal') {
            answer = wordX[a - 1] + answer;
            a--;
            b--;
        } else if (solution[a][b] === 'left') {
            b--;
        } else if (solution[a][b] === 'top') {
            a--;
        }
        x = solution[a][b];
    }
    return answer;
}

function lcs(wordX, wordY) {
    const m = wordX.length;
    const n = wordY.length;
    const l = [];
    const solution = [];
    for (let i = 0; i <= m; i++) {
        l[i] = [];
        solution[i] = [];
        for (let j = 0; j <= n; j++) {
            l[i][j] = 0;
            solution[i][j] = '0';
        }
    }
    for (let i = 0; i <= m; i++) {
        for (let j = 0; j <= n; j++) {
            if (i === 0 || j === 0) {
                l[i][j] = 0;
            } else if (wordX[i - 1] === wordY[j - 1]) {
                l[i][j] = l[i - 1][j - 1] + 1;
                solution[i][j] = 'diagonal';
            } else {
                const a = l[i - 1][j];
                const b = l[i][j - 1];
                l[i][j] = Math.max(a, b);
                solution[i][j] = l[i][j] === l[i - 1][j] ? 'top' : 'left';
            }
        }
    }

    return printSolution(solution, wordX, m, n);
}

　　测试结果：

const wordX = ['a', 'c', 'b', 'a', 'e', 'd'];
const wordY = ['a', 'b', 'c', 'a', 'd', 'f'];
console.log(lcs(wordX, wordY)); // acad

贪心算法

　　贪心算法遵循一种近似解决问题的技术，期盼通过每个阶段的局部最优选择，从而达到全局的最优。它不像动态规划算法那样计算更大的格局。

最少硬币找零

　　我们来看看如何用贪心算法解决前面提到过的最少硬币找零问题。

function minCoinChange(coins, amount) {
    const change = [];
    let total = 0;
    for (let i = coins.length - 1; i >= 0; i--) {
        const coin = coins[i];
        while (total + coin <= amount) {
            change.push(coin);
            total += coin;
        }
    }
    return change;
}

const result = minCoinChange([1, 5, 10, 25], 36);
console.log(result); // [ 25, 10, 1 ]

　　前提是coins数组已经按从小到大排好序了，贪心算法从最大值开始尝试，如果该值不满足条件（要找零的钱数），则继续向下找，直到找到满足条件的所有值。以上算法并不能满足所有情况下找出最优方案，例如下面这种情况：

const result = minCoinChange([1, 2, 5, 9, 10], 18);
console.log(result); // [ 10, 5, 2, 1 ]

　　给出的结果[10, 5, 2, 1]并不是最优方案，最优方案应该是[9, 9]。

　　与动态规划相比，贪心算法更简单、效率更高。但是其结果并不总是最理想的。但是综合看来，它相对执行时间来说，输出一个可以接受的结果。

背包问题

物品#	重量	价值
1	2	3
2	3	4
3	4	5

　　在动态规划的例子里，假定背包的容量为5，最佳方案是往背包里装入物品1和物品2，总价值为7。在贪心算法中，我们需要考虑分数的情况，假定背包的容量为6，装入物品1和物品2之后，剩余容量为1，可以装入1/4的物品3，总价值为3+4+0.25×5=8.25。我们来看看具体的实现代码：

function knapSack(capacity, weights, values) {
    const n = values.length;
    let load = 0;
    let val = 0;
    for (let i = 0; i < n && load < capacity; i++) {
        if (weights[i] <= capacity - load) {
            val += values[i];
            load += weights[i];
            console.log(`物品${i + 1}，重量：${weights[i]}，价值：${values[i]}`);
        } else {
            const r = (capacity - load) / weights[i];
            val += r * values[i];
            load += weights[i];
            console.log(`物品${i + 1}的${r}，重量：${r * weights[i]}，价值：${val}`);
        }
    }

    return val;
}

　　从第一个物品开始遍历，如果总重量小于背包的容量，则继续迭代，装入物品。如果物品可以完整地装入背包，则将其价值和重量分别计入到变量val和load中，同时打印装入物品的信息。如果物品不能完整地装入背包，计算能够装入的比例r，然后将这个比例所对应的价值和重量分别计入到变量val和load中，同时打印物品的信息。最终输出总的价值val。下面是测试结果：

const capacity = 6;
const weights = [2, 3, 4];
const values = [3, 4, 5];
console.log(knapSack(capacity, weights, values));

物品1，重量：，价值：
物品2，重量：，价值：
物品3的0.，重量：，价值：8.25
8.25

　　在动态规划算法中，如果将背包的容量也设定为6，计算结果则为8。

最长公共子序列（LCS）

　　最后我们再来看看如何用贪心算法解决LCS的问题。下面的代码返回了两个给定数组中的LCS的长度：

function lcs(wordX, wordY, m = wordX.length, n = wordY.length) {
    if (m === 0 || n === 0) {
        return 0;
    }
    if (wordX[m - 1] === wordY[n - 1]) {
        return 1 + lcs(wordX, wordY, m - 1, n - 1);
    }
    const a = lcs(wordX, wordY, m, n - 1);
    const b = lcs(wordX, wordY, m - 1, n);
    return a > b ? a : b;
}

const wordX = ['a', 'c', 'b', 'a', 'e', 'd'];
const wordY = ['a', 'b', 'c', 'a', 'd', 'f'];
console.log(lcs(wordX, wordY)); //