汉明码（Hamming）编码与纠错原理

一 汉明码的编解码说明
（一）编码
　　Hamming(12,8)
　　N=12,表示编码后的比特长度
　　K=8,待编码数据的比特长度
　　R=N-K=4,校验位的比特长度
　　D=3 汉明距离:相邻行之间不同比特数据的最小值
　　(D-1)/2=1 纠错能力

　　表格1：
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　　　　　　　　　　单位矩阵(I)                                       生成校验位的矩阵(P)
　　----------------------------------------------------------------------------------------------------
　　标号 　 11      10       9       8       7      6      5     4           3         2     1      0
　　编号     x^7     x^6    x^5   x^4   x^3   x^2   x^1   1           c3      c2    c1    c0
　　7 　　    1        0       0       0       0      0       0     0           1        1      1      0
　　6            0        1       0       0       0      0       0     0           0        1      1      1
　　5            0        0       1       0       0      0       0     0           1        0      1      0
　　4            0        0       0       1       0      0       0     0           0        1      0      1
　　3            0        0       0       0       1      0       0     0           1        0      1      1
　　2            0        0       0       0       0      1       0     0           1        1      0      0
　　1            0        0       0       0       0      0       1     0           0        1      1      0
　　0            0        0       0       0       0      0       0     1           0        0      1      1
　　---------------------------------------------------------------------------------------------------

　　G是生成矩阵见表格1
　　A[7:0]
　　CODE=G x A
　　CODE[11]=A[7]
　　CODE[10]=A[6]
　　　　...
　　CODE[4]=A[0]
　　CODE[3]=A[7]^A[5]^A[3]^A[2] (^为异或)
　　CODE[2]=A[7]^A[6]^A[4]^A[2]^A[1]
　　CODE[1]=A[7]^A[6]^A[5]^A[3]^A[1]^A[0]
　　CODE[0]=A[6]^A[4]^A[3]^A[0]

　　（二）解码
　　　　1.求校验矩阵H
　　　　　　H = {P^T,I(N-K)} (^T表示转置; I(N-K)=I(4)表示4x4单位矩阵)
　　　　　　H为4x11矩阵

　　　　　　表2：
　　　　　　----------------------------------------------------------------------------------------------------------
　　　　　　　　11 　　 10　　 9　　 8　　 7　　 6　　 5　　 4　　 3　　 2　　 1　　 0
　　　　　　-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
　　　　　　　　 p7　　 p6　　 p5　p4　    p3　　p2　 p1　　 P0　  I3　   I2　　 I1　  I0
　　　　　　-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
　　　　　　3      1 　　   0　　   1 　 0　　 1　　   1　　 0　　 0　　 1　　 0　　 0　　 0
　　　　　　2      1 　　   1　　   0 　 1　　 0　　   1　　 1　　 0　　 0　　 1　　 0　　 0
　　　　　　1      1 　　   1　　   1 　 0 　　1　　   0 　　1　　 1　　 0　　 0　　 1　　 0
　　　　　　0      0 　　   1　　   0 　 1　　 1　　   0 　    0 　　1　　 0　　 0　　 0　　 1
　　　　　　----------------------------------------------------------------------------------------------------------
　　　　2.求校正子S
　　　　　　　　S = H^T * U (U为待解码的数据)
　　　　　　　　S[3] = U[11]^U[9]^U[7]^U[6]^U[3]
　　　　　　　　S[2] = U[11]^U[10]^U[8]^U[6]^U[5]^U[2]
　　　　　　　　S[1] = U[11]^U[10]^U[9]^U[7]^U[5]^U[4]^U[1]
　　　　　　　　S[0] = U[10]^U[8]^U[7]^U[4]^U[0]
　　　　3.根据假设错误模式定位错误比特
　　　　　　通过错误模式推导校正子Si，i是index指的是错误模式的种类，因为我们汉明码解码数据有12bit，
　　　　所以错误模式有12种，还包括一种全部正确的模式。
　　　　　　Si = H^T * Ei

　　　　　　表3：
　　　　　　-----------------------------------------------------------------------------
　　　　　　Ei 　　　　　　　　　　　　 H^T 　　    Si 　    编号
　　　　　　----------------------------------------------------------------------------
　　　　　　12'b0000_0000_0000 　　1110　　　　 0000
　　　　　　12'b0000_0000_0001 　　0111 　　　　0001　　  0
　　　　　　12'b0000_0000_0010 　　1010 　　　   0010 　　 1
　　　　　　12'b0000_0000_0100 　　0101　　　　 0100 　　 2
　　　　　　12'b0000_0000_1000 　　1011　　　　 1000 　　 3
　　　　　　12'b0000_0001_0000 　　1100　　　　 0011 　　 4
　　　　　　12'b0000_0010_0000　　 0110　　　　 0110 　　 5
　　　　　　12'b0000_0100_0000　　 0011　　　　 1100 　　 6
　　　　　　12'b0000_1000_0000　　 1000　　　　 1011 　　 7
　　　　　　12'b0001_0000_0000　　 0100　　　　 0101 　　 8
　　　　　　12'b0010_0000_0000　　 0010　　　　 1010 　　 9
　　　　　　12'b0100_0000_0000　　 0001　　　　 0111 　　 10
　　　　　　12'b1000_0000_0000　　　　　　　　   1110　　  11
　　　　　　----------------------------------------------------------------------------
　　　　4.优化数据修正方法
　　　　　　C[11] = U[11]^(S[3]&S[2]&S[1]&(~S[0]))
　　　　　　C[10] = U[10]^(~S[3]&S[2]&S[1]&S[0])
　　　　　　C[9] = U[9]^(S[3]&(~S[2])&S[1]&(~S[0]))
　　　　　　C[8] = U[8]^(S[3]&(~S[2])&S[1]&S[0])
　　　　　　C[7] = U[7]^(S[3]&(~S[2])&S[1]&S[0])
　　　　　　C[6] = U[6]^(S[3]&S[2]&(~S[1])&(~S[0]))
　　　　　　C[5] = U[5]^((~S[3])&S[2]&S[1]&(~S[0]))
　　　　　　C[4] = U[4]^((~S[3])&(~S[2])&S[1]&S[0])
　　　　　　C[3] = U[3]^(S[3]&(~S[2])&(~S[1])&(~S[0]))
　　　　　　C[2] = U[2]^((~S[3])&S[2]&(~S[1])&(~S[0]))
　　　　　　C[1] = U[1]^((~S[3])&(~S[2])&S[1]&(~S[0]))
　　　　　　C[0] = U[0]^((~S[3])&(~S[2])&(~S[1])&S[0])

　　　　　　例如：
　　　　　　　　待编码数据：8'b0011_0101
　　　　　　　　编码后数据：CODE[11:4] = 0011_0101
　　　　　　　　　　　　　　CODE[3:0] = 0000
　　　　　　　　　　　　　　CODE[11:0] = 12'b0011_0101_0000
　　　　　　　　经过信道，假设接收到的数据：
　　　　　　　　　　　　　　U[11:0] = 12'b0011_0101_0001
　　　　　　　　校正子：
　　　　　　　　　　　　S[3] = 0
　　　　　　　　　　　　S[2] = 0
　　　　　　　　　　　　S[1] = 0
　　　　　　　　　　　　S[0] = 1
　　　　　　　　　　　　S[3:0] = 4'b0001
　　　　　　　　根据表3，可知是在接收数据的最低位发生错误