Sam's Numbers 矩阵快速幂优化dp
https://www.hackerrank.com/contests/hourrank-21/challenges/sams-numbers
设dp[s][i]表示产生的总和是s的时候,结尾符是i的所有合法方案数。
那么dp[s][i]可以由dp[s - i][1---m]中,abs(i - k) <= d的递推过来。
但是s很大,不能这样解决。
考虑到m只有10,而且dp[s][1]只能由dp[s - 1][1...m]递推过来。
那么先预处理dp[1--m][1--m]
写成m * m的一行(离散化一下就好)
写成dp[1][1]、dp[1][2].....dp[1][m]、、dp[2][1]、dp[2][2].....dp[2][m]、、dp[3][1]、dp[3][2]......dp[3][m]这样
那么dp[1][1]要递推变成dp[2][1],可以构造一个矩阵出来就好了。前m * m - m个可以由后面的得到。
构造矩阵难得就是dp[m][k]要递推到dp[m + 1][k],模拟一下就能找到递推式。主要是知道m比较小,可以暴力离散化来搞。
复杂度1e6 * logs
#include <bits/stdc++.h>
#define IOS ios::sync_with_stdio(false)
using namespace std;
#define inf (0x3f3f3f3f)
typedef long long int LL;
const int maxn = + ;
struct Matrix {
LL a[maxn][maxn];
int row;
int col;
}ans, base;
//struct Matrix matrix_mul(struct Matrix a, struct Matrix b, int MOD) { //求解矩阵a*b%MOD
// struct Matrix c = {0};
// c.row = a.row;
// c.col = b.col;
// for (int i = 1; i <= a.row; i++) {
// for (int j = 1; j <= b.col; j++) {
// for (int k = 1; k <= b.row; k++) {
// c.a[i][j] += a.a[i][k] * b.a[k][j];
// c.a[i][j] = (c.a[i][j] + MOD) % MOD;
// }
// }
// }
// return c;
//} struct Matrix matrix_mul(struct Matrix a, struct Matrix b, int MOD) {
struct Matrix c = {};
c.row = a.row;
c.col = b.col;
for (int i = ; i <= a.row; ++i) {
for (int k = ; k <= a.col; ++k) {
if (a.a[i][k]) {
for (int j = ; j <= b.col; ++j) {
c.a[i][j] += a.a[i][k] * b.a[k][j];
c.a[i][j] = (c.a[i][j] + MOD) % MOD;
}
}
}
}
return c;
}
struct Matrix quick_matrix_pow(struct Matrix ans, struct Matrix base, LL n, int MOD) {
while (n) {
if (n & ) {
ans = matrix_mul(ans, base, MOD);
}
n >>= ;
base = matrix_mul(base, base, MOD);
}
return ans;
}
const int MOD = 1e9 + ;
void add(int &x, int y) {
x += y;
if (x >= MOD) x -= MOD;
}
int dp[][];
LL s, m, d;
int getId(int x, int y) {
return (x - ) * m + y;
}
int res[maxn];
void work() {
cin >> s >> m >> d;
for (int i = ; i <= m; ++i) dp[i][i] = ;
for (int i = ; i <= m; ++i) {
for (int j = ; j <= m && j <= i; ++j) {
for (int k = ; k <= m; ++k) {
if (abs(k - j) > d) continue;
add(dp[i][j], dp[i - j][k]);
}
}
}
if (s <= m) {
int ans = ;
for (int i = ; i <= m; ++i) {
add(ans, dp[s][i]);
}
cout << ans << endl;
return;
}
for (int i = ; i <= m; ++i) {
for (int j = ; j <= m; ++j) {
res[getId(i, j)] = dp[i][j];
}
}
base.col = base.row = m * m;
int to = m + ;
for (int i = ; i <= m * m - m; ++i) {
base.a[to][i] = ;
to ++;
}
int now = ;
for (int i = m * m - m + ; i <= m * m; ++i) {
// int id = getId(m - now + 1, now);
for (int j = ; j <= m; ++j) {
if (abs(j - now) > d) continue;
base.a[getId(m - now + , j)][i] = ;
}
now++;
}
ans.row = , ans.col = m * m;
to = ;
for (int i = ; i <= m; ++i) {
for (int j = ; j <= m; ++j) {
ans.a[][to] = dp[i][j];
to++;
}
}
//
// for (int i = 1; i <= m * m; ++i) {
// for (int j = 1; j <= m * m; ++j) {
// cout << base.a[i][j] << " ";
// }
// cout << endl;
// }
// cout << endl;
// for (int i = 1; i <= m * m; ++i) {
// cout << ans.a[1][i] << " ";
// }
// cout << endl;
ans = quick_matrix_pow(ans, base, s - m, MOD);
int out = ;
for (int i = m * m - m + ; i <= m * m; ++i) {
add(out, ans.a[][i]);
}
// for (int i = 1; i <= m * m; ++i) {
// cout << ans.a[1][i] << " ";
// }
// cout << endl;
cout << out << endl;
}
int main() {
#ifdef local
freopen("data.txt", "r", stdin);
// freopen("data.txt", "w", stdout);
#endif
IOS;
work();
return ;
}
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