大规模问题的分解法-D-W分解法

　　大规模线性规划问题的求解极具挑战性，在效率、存储和数值稳定性等方面对算法都有很高的要求。但是这类问题常常非常稀疏且有特殊结构，能够分解为若干个较小规模问题求解。

　　线性规划问题的目标函数和非负约束都可分离变量，即分成相互独立的若干组。如果等式约束也可分离变量，则大规模问题就可分解为较小问题求解。

单纯形法

　　注意：线性规划问题如果有最优解，必有一个顶点最优解。于是在可行域的顶点中寻找最优解就很自然了。可行域一般有无限多个点，但却只有有限多个顶点（从n个不同元素中取出m个元素的组合数（用符号 C(n,m) 表示））。在顶点中寻找最优解就把寻找的范围从可行域缩小到一个有限子集。

　　单纯形法的基本思想：从一个顶点沿一条边转移到一个相邻顶点，如此重复，直到抵达最优顶点。

单纯形表

表1-表2

　　其中不仅提供约束系统一般解的显式表示及相应的基本解，还给出了目标函数的一个简化形式。具体地说，其右端列给出基本解：

x₁=7/11，x₂=14/11，x₃=9/11，x₄=x₅=0

　　由于它满足非负性条件，故为基本可行解，表格右下角数值的相反数35/11为其对应目标值。

表3

显然，单纯形表完全由基确定。

　　如果目标函数在该解处达到可行域上的最小值，则称之为基本最优解，相应的表为最优（单纯形）表。基本可行解和基本最优解分别为可行域的顶点和最优顶点。假若目标值在可行域上无下界，则称线性规划问题无（下）界；此时也无最优解。

表格单纯形法

高斯-若尔当消去法

　　该方法每步由两个部分构成：在系数矩阵部分确定非0主元和对整个曾广矩阵进行相应的消去运算。主元所在的列和行分别称为主元列和主元行，其余的为非主元列和非主元行（不包含右端列）。每步确定主元后用初等变换将主元列化为主元位置为1的单位向量。

　　由全主元高斯-若尔当消去法得到的最终表称为典式。显然约束系统总存在典式。

定理：

　　系统有解的充分必要条件是r=m或r<m而右端列的非主元行分量全为0。若有解，则有无穷多解。→当r<m而右端列的非主元元素全为0时，可以踢除非主元行所代表的恒等式。在约束系统无解的情形，显然原线性规划问题也无可行解，自然也无最优解。

系统等价

　　一个系统的解的全体称为它的解集。如果几个系统有相同的解集，则视其等价。

命题

• 用任一非0常数乘以任一方程所得到的系统与原系统等价
• 用任一常数乘以任一方程加到另一方程上去所得到的系统与原系统等价

　　上面的运算称为系统的初等（行）变换，是系统最基本的等价变换。高斯-若尔当消去法通过一系列初等变换消去系统的某些项，将其化为易于求解的形式。

Dantzig-Wolfe分解算法

　　D-W分解法把约束条件分为两个部分，将可行域表示定理用于其中一部分所对应问题的可行域，分别构造主问题和子问题。各次迭代的子问题仅目标函数不同，依其求解的结果判定已达成最优或者生成一个进基列，进而完成主问题的一次单纯形迭代。原问题于是化成两个较小问题的求解。如果原问题部分约束具可分离结构，相应的子问题还可进一步分解为更小的问题。

参考文献：

潘平奇. 线性规划计算[M]. 科学出版社, 2012.