hash进阶：使用字符串hash乱搞的姿势

前言

此文主要介绍hash的各种乱搞方法，hash入门请参照我之前这篇文章

不好意思hash真的可以为所欲为

在开头先放一下题表（其实就是我题解中的hash题目qwq）

查询子串hash值

必备的入门操作，因为OI中用到的hash一般都是进制哈希，因为它有一些极其方便的性质，比如说，是具有和前缀和差不多的性质的。

假设一个字符串的前缀hash值记为\(h[i]\)，我们hash时使用的进制数为\(base\)，那么显然\(h[i]=h[i-1]*base+s[i]\)

记\(p[i]\)表示\(base\)的\(i\)次方，那么我们可以通过这种方式\(O(1)\)得到一个子串的hash值（设这个子串为s[l]...s[r])

typedef unsigned long long ull;
ull get_hash(int l, int r) {
    return h[r] - h[l - 1] * p[r - l + 1];
}

可是为什么呢？

我们知道，进行进制哈希的过程本质上就是把原先得到的哈希值在\(base\)进制上强行左移一位，然后放进去当前的这个字符。

现在的目的是，取出\(l\)到\(r\)这段子串的hash值，也就是说，\(h[l-1]\)这一段是没有用的，我们把在\(h[r]\)这一位上，\(h[l-1]\)这堆字符串的hash值做的左移运算全部还原给\(h[l-1]\)，就可以知道\(h[l-1]\)在\(h[r]\)中的hash值，那么减去即可。（简单的容斥思想）

这是基本操作，现在来看一个这个的拓展问题。

题意

现在有一个字符串\(s\)，每次询问它的一个子串删除其中一个字符后的hash值（删除的字符时给定的）

要求必须\(O(1)\)回答询问

Sol

删除操作？那不能像上面那样子简单粗暴的来搞了，但是其实本质上是一样的。

假设我们现在询问的区间为\([l,r]\)，删除的字符为\(x\)（指位置，不是字符）

类比上面的做法，我们可以先\(O(1)\)得到区间\([l,x-1]\)和区间\([x+1,r]\)的hash值，那么现在要做的事情就是把这两段拼起来了，由于我们使用的是进制hash，所以其实很简单，强行将前面的区间强行左移\(r-x\)位（这么看可能会好理解一点：\(r-(x+1)+1\)）就好。

代码实现也很简单

typedef unsigned long long ull;
ull get_hash(int l, int r) {
    return h[r] - h[l - 1] * p[r - l + 1];
}
ull get_s(int l, int r, int x) {
    return get_hash(l, x - 1) * p[r - x] + get_hash(x + 1, r);
}

这题的原题是LOJ#2823. 「BalticOI 2014 Day 1」三个朋友 ，需要分类讨论一下，不过知道上面这个也就不难了

用hash求最长回文子串/回文子串数

最长回文子串！我知道！马拉车！可以\(O(n)\)！

可是如果你马拉车写挂了呢？或者像我一样不会马拉车

这时候就得靠hash来水分了

我们知道，回文子串是具有单调性的

如果字符串s[l...r]为回文子串，那么s[x...y](l<x,y<r)也一定是回文子串

单调性！我们是不是可以二分？

我们暂时只讨论长度为奇数的回文子串。（事实上，长度为偶数的回文子串与奇数的只是处理上的一些细节不同，仅此而已）

考虑枚举回文子串的中点，并二分回文子串的长度（不过一般来说，二分回文子串的长度的1/2可能会更好写一点），那么我们使用上文提到的\(O(1)\)查询子串hash值的方法，就可以\(O(1)\)判断二分得到的这个子串是不是回文子串了。

对于长度为偶数的回文子串，枚举中点左边/右边的字符即可

效率是\(O(nlogn)\)的，复杂度较马拉车算法比较逊色，不过如果马拉车算法打挂或者是时间复杂度允许的情况下，hash也是一个不错的选择。

然后还有一种方法，适合像我这种下标总是搞错的，可以直接处理出正串和反串的hash值，然后每次根据二分出来的长度计算整个字符串的起止，判断正串和反串的hash值是否相等即可。（这样就不用研究恶心的下标了...研究下标还得分奇偶讨论...）

字符串的很多特性是具有单调性的，二分求解是一个常见的思路，配合哈希进行判断操作一般可以做到在\(O(nlogn)\)效率内完成问题

例题：SP7586 NUMOFPAL - Number of Palindromes

练习：LOJ#2452. 「POI2010」反对称 Antisymmetry

例题代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
#define N 10100
#define base 13131

char s[N];
ull h1[N], p[N], h2[N], ans = 0;
int n;

ull gh1(int l, int r) { return h1[r] - h1[l - 1] * p[r - l + 1]; }
ull gh2(int l, int r) { return h2[l] - h2[r + 1] * p[r - l + 1]; }

ull query1(int x) { //奇
	int l = 1, r = min(x, n - x);
	while(l <= r) {
		int mid = (l + r) >> 1;
		if(gh1(x - mid, x + mid) == gh2(x - mid, x + mid)) l = mid + 1;
		else r = mid - 1;
	}
	return r;
}

ull query2(int x) { //偶
	int l = 1, r = min(x, n - x);
	while(l <= r) {
		int mid = (l + r) >> 1;
		if(gh1(x - mid + 1, x + mid) == gh2(x - mid + 1, x + mid)) l = mid + 1;
		else r = mid - 1;
	}
	return r;
}

int main() {
    scanf("%s", s + 1); p[0] = 1;
    n = strlen(s + 1);
    for(int i = 1; i <= n; ++i) {
    	h1[i] = h1[i - 1] * base + s[i];
    	p[i] = p[i - 1] * base;
	}
	for(int i = n; i; i--) h2[i] = h2[i + 1] * base + s[i];
	for(int i = 1; i < n; ++i) {
		ans += query1(i) + query2(i);
	}
	printf("%llu\n", ans + n);
}

用hash代替kmp算法

关于kmp算法，可以看pks大佬的blog，讲的真的很好！

但是我们这里不讲kmp算法，我们利用hash来代替kmp算法求解单模式串匹配问题。

但是kmp算法的next数组真的很妙！可以解决很多神奇的东西，强烈推荐去学学！

好了，步入正题。

单模式串匹配问题是什么？

给出两个字符串\(s1\)和\(s2\)，其中\(s2\)为\(s1\)的子串，求\(s2\)在\(s1\)中出现多少次/出现的位置。

如果有认真看过该篇文章的第一子目的话，应该不难想到这题的hash做法。

具体做法是预处理出来两个串的hash值，因为求的是\(s2\)在\(s1\)中出现的次数，所以我们要匹配的长度被压缩到了\(s2\)的长度，所以我们只需要枚举\(s2\)在\(s1\)中的起点，看看后面一段长度为\(len\)的区间的hash值和\(s2\)的hash值一不一样就好。

时间复杂度是\(O(n+m)\)的！和kmp算法一样！

例题：LOJ #103. 子串查找 (本来想放洛谷的结果要输出next数组就没办法了23333)

练习：UVA10298 Power Strings

例题代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define N 1000010
#define ull unsigned long long
#define base 233

ull h[N], p[N], ha;
char s1[N], s2[N];

int main() {
	scanf("%s%s", s1 + 1, s2 + 1);
	int n = strlen(s1 + 1), m = strlen(s2 + 1);
	for(int i = 1; i <= m; ++i) ha = ha * base + (ull)s2[i];
	p[0] = 1;
	for(int i = 1; i <= n; ++i) {
		h[i] = h[i - 1] * base + (ull)s1[i];
		p[i] = p[i - 1] * base;
	}
	int l = 1, r = m, ans = 0;
	while(r <= n) {
		if(h[r] - h[l - 1] * p[m] == ha) ++ans;
		++l, ++r;
	}
	printf("%d\n", ans);
}

用hash代替其他一些字符串算法

因为博主并没有写过，所以并不打算深入讲（没写过不熟悉啊...）

这一子目会分析一下hash还能代替哪些算法以及使用hash算法代替的复杂度是多少

manacher算法

求最长回文串/回文串个数manacher算法是可以做到\(O(n)\)的

使用hash+二分可以做到\(O(nlogn)\)，并且实现简单

kmp算法

进行单模式串匹配可以使用hash进行

复杂度\(O(n+m)\)，kmp算法复杂度也是\(O(n+m)\)。但是kmp的next数组可以做到一些hash做不到的事情。

上面两个是前面两子目分析过的。

AC自动机

多模式串匹配：求文本串中各个模式串出现了多少次。

设文本串的长度为\(n\)，模式串的总长度为\(len\)，模式串的个数为\(m\)

hash出文本串中每个子串，并存入一个map中，复杂度是\(O(n^2logn)\)的（用map主要是便于查询）。然后hash出每个模式串，复杂度是\(O(len)\)的。

对每个模式串，查询对应的map中文本串的子串的个数即可。复杂度\(O(mlogn)\)

总复杂度是\(O(n^2logn+len+mlogn)\)

这个\(log\)可以去掉的（自行写个哈希表）。

所以并没有什么用...还是用AC自动机实在。

用AC自动机可以做到\(O(n+len)\)

后缀数组

求后缀数组中的SA数组。（如果不知道请自行百度）（给定的串为S）

最暴力的做法是直接对每个后缀进行排序，并逐字符匹配，这样会达到\(O(n^2logn)\)

那么有没有不这么无脑的做法？

有！有个hash+二分的神仙做法可以做到\(O(nlognlogn)\)

我们处理出整个串S的hash值。

在排序中对两个子串进行排序的过程中，采用二分找相同的前缀（比较用hash，可以\(O(1)\)），那么设我们最后二分到的值为r，则直接比较\(s[x+r+1]\)和\(s[y+r+1]\)的大小即可（设子串1的起点为\(x\)，子串2的起点为\(y\)）。这样每次比较的复杂度就是\(O(logn)\)了。

加上排序，总的复杂度为\(O(nlognlogn)\)

并且其实还能求出height数组的，但是我自己对height数组的理解也不大行，所以这里就不讨论这个。

而后缀数组的复杂度是\(O(nlogn)\)（使用倍增法）

后缀数组这部分主要参考自李煜东的《算法竞赛进阶指南》。

使用hash的几个要注意的地方

在复杂度允许的情况下，尽量采用多hash（不过一般双hash就够）

比赛时能不用自然溢出就不要（平时刷题如果用自然溢出被卡可以及时换掉，但是比赛时如果用自然溢出，OI赛制就GG了）

模数用大质数这个不用说了

并且进制数不要选太简单的，比如\(233\)和\(13131\)这样的，尽量大一点，比如\(13131\)和\(233333\)。太小容易被卡。

以及要合理应对各种卡hash方法的最好方法就是自己去卡一遍hash，详情请参考BZOJ hash killer系列。