样本方差S²中为什么是乘以1/(n-1)或者说除以n-1?贝塞尔校正，无偏估计

样本方差S²中为什么是乘以1/(n-1)或者说除以n-1?贝塞尔校正，无偏估计

前言：重在记录，可能出错。

先看样本方差的公式如下：

S2=1n-1∑i=1n(Xi-X¯)2=1n-1(∑i=1nXi2-nX¯2)

怎么理解这个1/(n-1)?

直观思维里，样本方差应当乘以1/n，但这里并非如此。首先，这个1/(n-1)叫做“贝塞尔校正”，它的存在可以使得样本方差更接近总体方差，也就是无偏估计。那又为什么是用n-1代替n呢？

假设待定的样本方差为：

s2=1n∑i=1n(Xi-X¯)2

总体方差为E(s²)，很好理解，取相当多个不同的样本方差的均值最接近总体方差

E(s2)=E(1n∑i=1n(Xi-X¯)2)=1nE(∑i=1n(Xi 2-2XiX¯+X¯2))=1nE(∑i=1nXi2-2X¯∑i=1nXi+∑i=1nX¯2)①代入∑i=1nXi=nX¯  =1nE(∑i=1nXi2-2nX¯2+nX¯2)=1nE(∑i=1nXi2-nX¯2)=1nE(∑i=1nXi2)-E(X¯2)=E(∑i=1n(Xi21n))-(D(X¯)+E2(X¯))②代入方差计算公式=E(X2)-D(X¯)-E2(X¯)                      ③1n是Xi2的概率，符合期望的定义  =D(X)+E2(X)-D(X¯)-E2(X¯)     ④X是总体，D(X)即总体方差=D(X)-D(X¯)=D(X)-1nD(X)                                     ⑤总体方差=n 个平均值方差之和 =n-1nD(X)

此时求得E(s²)与D(X)存在误差，通过乘以n/(n-1)来校正，得

n n-1E(s2)=D(X)=E(nn-1s2)

令S²=n/(n-1)s²，得

S2=1n-1∑i=1n(Xi-X¯)2