关于基础RMQ——ST算法
RMQ,Range Maximum/Minimum Query,顾名思义,就是询问某个区间内的最大值或最小值,今天我主要记录的是其求解方法——ST算法
相对于线段树,它的运行速度会快很多,可以做到O(log n)的预处理和O(1)的查询,不足就是无法进行区间修改,这个一会就会提及
我将从四个方面进行记录:
1、ST的算法流程
其实与DP有很大的相似性,用 a[1,2,....,n] 来记录整组数据,设 f[i,j] 代表从 a[i] 到 a[i+-1] 之间所有元素的最大值。
不难发现,其实这个区间就有个元素。现在我们将这些元素平均分为两部分,那么每部分就是个元素,而这两个集合就可以写成:
那么整个区间的最大值就转换成了两个区间最大值的较大值,根据动态规划的最优化原理,就可以轻松的写出状态转移方程:
边界条件就是:
2、询问
要想要找出区间 [x,y] 的最大值,与刚才讲的方法类似,找出最大的 a 满足:
至于为啥不能是直接取等于,是因为取等于时不一定是整数。
所以不一定是正好是整个区间的一半,会出现以下这种情况:
不过That's OK,因为就算区间有重叠也不会影响最大值的确定,但是如果进行区间的操作的话可能就不适用了,因为重叠的部分会被操作两次,这明显不公平!这也是我最开始的时候对ST进行批判的原因,也是ST算法只适用于求区间最值的原因。
3、代码实现
刚才其实都讲的差不多了,不做过多解释:
1 #include<cstdio>
2 #include<cmath>
3 #include<iostream>
4 #include<algorithm>
5 using namespace std;
6 const int NN=1e6+5;
7 int f[NN][21];//21位就差不多了,2的21次方超过了1e6
8
9 inline int read()//快读
10 {
11 char ha=getchar();
12 int x=0,sign=1;
13 while(ha<'0'||ha>'9')
14 {
15 if(ha=='-')
16 {
17 sign=-1;
18 }
19 ha=getchar();
20 }
21 while(ha>='0'&&ha<='9')
22 {
23 x=x*10+ha-'0';
24 ha=getchar();
25 }
26 return x*sign;
27 }
28
29 int Query(int l,int r)
30 {
31 int logg=log2(r-l+1);
32 int haha=max(f[l][logg],f[r-(1<<logg)+1][logg]);
33 return haha;
34 }
35 int main()
36 {
37 int N=read(),M=read();
38 for(int i=1;i<=N;i++)//初始化,只有一个数的区间最大值就是它本身
39 {
40 f[i][0]=read();
41 }
42 for(int j=1;j<=21;j++)//开始DP找最大值
43 {
44 for(int i=1;i+(1<<j)-1<=N;i++)
45 {
46 f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]);
47 }
48 }
49 for(int i=1;i<=M;i++)
50 {
51 int l=read(),r=read();
52 int ans=Query(l,r);
53 printf("%d\n",ans);
54 }
55 return 0;
56 }
四、例题精讲
敬请期待!
To Be Continued...
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