数据结构高阶--AVL（平衡二叉树）（图解+实现）
AVL树（平衡二叉树）
概念
二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此为了解决这个问题，两位俄罗斯的数学家发明了一种方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。
- 它的左右子树都是AVL树
- 左右子树高度之差的绝对值（也叫平衡因子）不超过1
- 我规定：平衡因子（balance factor）= 右子树高度 - 左子树高度（后面这样实现）
AVL树节点定义以及框架
template <class K,class V>
struct AVL_Node
{
//三叉链
AVL_Node<K, V>* left;
AVL_Node<K, V>* right;
AVL_Node<K, V>* parent;//用来定位父节点
K key;
V value;
int bf;//平衡因子 = 右子树 - 左子树
AVL_Node(const K& key, const V& value):left(nullptr),right(nullptr),parent(nullptr), key(key), value(value),bf(0)
{}
};
template <class K, class V>
class AVL_Tree
{
typedef AVL_Node<K,V> Node;
public:
public:
Node* root = nullptr;
};
AVL树的插入
方法概述
第一步： 我们先按照二叉搜索树树插入节点的方式，插入节点（这一步很简单，上一篇博客介绍过）
第二步： 更新平衡因子，更新平衡因子的过程是一个难点，下面我给大家分析一下整个过程
平衡因子的调节
实际上，我们应该能够发现，插入一个节点后，它之后影响它祖先的平衡因子（可能是所有祖先，也可能是一部分祖先），下面就是一个分析过程：
第一步： 判断父亲节点是否存在，不存在直接结束，如果存在，且插入节点是它的左孩子，那么父亲节点的平衡因子就减1，如果是父亲的右孩子，父亲的平衡因子就加1。然后对父亲节点的平衡因子进行检索。
第二步： 继续对父亲节点的平衡因子进行检索，平衡因子会有以下三种情况
- 第一种情况：此时父亲的平衡因子为0，则说明插入前父亲的平衡因子为1或-1，缺少左节点或右节点插入后，插入的节点已经补齐了左节点或右节点，整体高度不变，对上层无影响，不需要继续调节。下面是一个演示图：
- 第二种情况：此时父亲节点的平衡因子为-1或1，则说明插入前父亲的平衡因子为0，插入后增加了一个左节点或右节点，整体高度增加1，对上层有影响，继续迭代更新祖先的平衡因子。下面是一个演示图：
- 第三种情况：此时父亲节点的平衡因子为-2或2，则说明插入前父亲的平衡因子为-1或1，多了一个左节点或一个右节点，插入后增加了一个左节点或右节点，此时多了两个左节点和右节点，这棵子树一边已经被拉高了，此时这棵子树不平衡了，需要旋转处理。下面是一个演示图：
旋转处理（出现了不平衡子树）
一般来说，第一个发生不平衡的节点，我们记作parent，它的孩子分别记作subL(左子树)和subR（右子树）
分四种情况讨论：
- 左单旋（新插入的节点在右子树的右侧）
具体步骤： 让subR的左孩子成为parent的右孩子，然后让parent成为subR的左孩子，最后把两个节点的平衡因子修改为0。
先画一个具像图给大家演示如何进行这个操作（下面是一部分失衡的子树）
抽象图：
代码实现如下
/*
注意：一般选取第一个不平衡的节点作为parent
*/
//左单旋，新插入的节点在右子树的右侧
/*
步骤：
1.让subR的左孩子成为parent的右孩子
2.然后让parent成为subR的左孩子
3.最后把两个节点的平衡因子修改为0
*/
void RotateL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->right;
Node* subRL = subR->left;
//1.先把subR左边（可能为空也可能不为空）作为parent的右边
parent->right = subRL;
//2.如果subRL不为空，那么就让subRL的父指针指向parent
if (subRL)
{
subRL->parent = parent;
}
//3.先记录parent的父节点的位置，然后把parent作为subR的左边
Node* ppNode = parent->parent;
subR->left = parent;
//4.parent的父指针指向subR
parent->parent = subR;
//5.如果ppNode为空-->说明subR现在是根节点，就让subR的父指针指向nullptr
//如果不是根节点就把subR的父指针指向parent的父节点，parent的父节点（左或右）指向subR
if (ppNode == nullptr)
{
//更新根节点
root = subR;
subR->parent = nullptr;
}
else
{
//判断parent是ppNode的左还是右
if (ppNode->left == parent)
{
ppNode->left = subR;
}
else
{
ppNode->right = subR;
}
subR->parent = ppNode;
}
//6.把parent和subR的平衡因子更新为0
subR->bf = parent->bf = 0;
}
- 右单旋（新节点插入到左子树的左侧）
具体步骤： 让subL的右孩子成为parent的左孩子，然后让parent成为subL的右孩子，最后把两个节点的平衡因子修改为0
先画一个具像图给大家演示如何进行这个操作（下面是一部分失衡的子树）：
抽象图：
代码实现如下：
//右单旋，新插入的节点在左子树的左侧
/*
步骤：
1.让subL的右孩子成为parent的左孩子
2.然后让parent成为subL的右孩子
3.最后把两个节点的平衡因子修改为0
*/
void RotateR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->left;
Node* subLR = subL->right;
//1.先把subL的右边（可能为空也可能不为空）作为parent的左边
parent->left = subLR;
//2.如果subLR不为空，就把subLR的父指针指向parent
if (subLR)
{
subLR->parent = parent;
}
//3.记录parent的父节点的位置，然后把parent作为subL的右边
Node* ppNode = parent->parent;
subL->right = parent;
//4.parent的父亲指针指向subL
parent->parent = subL;
//5.如果ppNode为空-->说明subL现在是根节点，就让subL的父节点指向nullptr
//不是根节点就把subL的父节点指向parent的父节点，parent的父节点（左或右）指向subL
if (ppNode == nullptr)
{
//更新根节点
root = subL;
subL->parent = nullptr;
}
else
{
//判断parent是ppNode的左还是右
if (ppNode->left == parent)
{
ppNode->left = subL;
}
else
{
ppNode->right = subL;
}
subL->parent = ppNode;
}
//6.把parent和subL的平衡因子更新为0
subL->bf = parent->bf = 0;
}
- 右左双旋（新节点插入在较高右子树左侧，这里和第一种情况的区别就是前者是直线，后者是折线）
具体步骤 先对subR进行一个右单旋，然后对parent进行左单旋，修改平衡因子，有三种改法。三个节点从左至右的三个节点依次是：parent、subRL和subR。
如果subRL的平衡因子为0，就将它们依次改为0，0, 0；
如果subRL的平衡因子为1，就将它们依次改为-1，0, 0；
如果subRL的平衡因子为-1，就将它们依次改为0，0, 1。
先画一个具像图给大家演示如何进行这个操作（下面是一部分失衡的子树）
抽象图（两种情况）：
subRL的bf为1
subRL的bf为-1
**代码实现如下：**
//右左双旋，新插入的节点在右子树的左侧
/*
步骤：
1.先对subR进行一个右单旋
2在对parent进行一个左单旋然后修改平衡因子
*/
void RotateRL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->right;
Node* subRL = subR->left;
int bf = subRL->bf;//保留subRL的平衡因子的值，方便直到新插入的节点是在subRL左子树还是右子树
//旋转 先对subR进行右旋转，再对parent进行左旋转
RotateR(subR);
RotateL(parent);
// 从左到右 parent subRL subR
if (bf == -1)// subRL的左子树 bf: 0 0 1
{
parent->bf = 0;
subRL->bf = 0;
subR->bf = 1;
}
else if (bf == 1)// subRL的右子树 bf: -1 0 0
{
parent->bf = -1;
subRL->bf = 0;
subR->bf = 0;
}
else if (bf == 0)
{
parent->bf = 0;
subRL->bf = 0;
subR->bf = 0;
}
}
- 左右双旋（新节点插入在较高右子树左侧，这里和第一种情况的区别就是前者是直线，后者是折线）
具体步骤先对subL进行一个左单旋，然后对parent进行右单旋，修改平衡因子，有三种改法。三个节点从左至右的三个节点一次是：subL、subLR和parent。（和上面的类似，这样有助于我们记住平衡因子的调整，同时我们也可以画简图理解记忆）
如果subLR的平衡因子为0，就将它们依次改为0，0, 0；
如果subLR的平衡因子为1，就将它们依次改为-1，0, 0；
如果subLR的平衡因子为-1，就将它们依次改为0，0, 1。
先画一个具像图给大家演示如何进行这个操作（下面是一部分失衡的子树）
抽象图（两种情况）：
subLR的bf为-1
subLR的bf为1
代码实现如下：
//左右双旋，新插入的节点在左子树的右侧
/*
步骤：
1.先对subR进行一个左单旋
2.在对parent进行一个右单旋然后修改平衡因子
*/
void RotateLR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->left;
Node* subLR = subL->right;
int bf = subLR->bf;//保留subLR的平衡因子的值，方便直到新插入的节点是在subLR左子树还是右子树
//旋转先对subL进行左旋转，再对parent进行右旋转
RotateL(subL);
RotateR(parent);
//从左到右 subL subLR parent
if (bf == -1)// subLR的左子树 bf: 0 0 1
{
subL->bf = 0;
subLR->bf = 0;
parent->bf = 1;
}
else if (bf == 1)// subLR的右子树 bf: -1 0 0
{
subL->bf = -1;
subLR->bf = 0;
parent->bf = 0;
}
else if (bf == 0)
{
subL->bf = 0;
subLR->bf = 0;
parent->bf = 0;
}
}
插入代码的实现
//二叉树的插入
bool Insert(const K& key, const V& value)
{
//先按照二叉搜索树一样插入元素
//无节点插入
if (root == nullptr)
{
root = new Node(key,value);
return true;
}
//有节点时插入
Node* parent = nullptr;
Node* cur = root;
while (cur)
{
parent = cur;
//小于往左走
if (key < cur->key)
{
cur = cur->left;
}
//大于往右走
else if (key > cur->key)
{
cur = cur->right;
}
else
{
//找到了，就返回false
return false;
}
}
cur = new Node(key,value);
// 判断cur应该插在parent的左还是右
// 小于在左，大于在右
if (cur->key < parent->key)
{
parent->left = cur;
cur->parent = parent;
}
else
{
parent->right = cur;
cur->parent = parent;
}
// 更新parent的平衡因子
// 节点的插入只会影响cur的祖先的平衡因子（不是所有的，是一部分，分情况）
while (parent)
{
// 更新parent的平衡因子
// cur在parent的左，parent->bf--
// cur在parent的右，parent->bf++
if (cur == parent->left)
parent->bf--;
else
parent->bf++;
// bf 可能为 -2、-1、0、1、2
// 如果平衡因子为0，说明更新之前，parent的bf为-1或1，现在补齐了左节点或右节点，bf==0，对上层无影响
// 如果平衡因子为-1或1，说明更新之前，parent的bf为0，现在增加了一个左节点或有节点，bf==-1 || bf==1,对上层有影响
// 如果平衡因子为-2或2，说明更新之前，parent的bf为-1或1，现在往左（右）节点补了左（右）节点，也就是一边
// 拉高了，树不平衡了，需要用左旋转或右旋转来进行调整
if (parent->bf == 0)
{
//对上层没有影响，退出
break;
}
else if(parent->bf == -1 || parent->bf == 1)
{
// 对上层有影响，迭代更新
cur = parent;
parent = parent->parent;
}
else
{
// 平衡树出现了问题，需要调整
// 1.右边高，左旋转调整
if (parent->bf == 2)
{
// 如果是一条直线==>左旋转即可
// 如果是一条折线==>右左旋转
if (cur->bf == 1)
RotateL(parent);
else if (cur->bf == -1)
RotateRL(parent);
}
// 2.左边高，右旋转调整
else if (parent->bf == -2)
{
// 如果是一条直线==>右旋转即可
// 如果是一条折线==>左右旋转
if (cur->bf == -1)
RotateR(parent);
else if (cur->bf == 1)
RotateLR(parent);
}
// 调整后是平衡树，bf为0，不需要调整了
break;
}
}
return true;
}
AVL树的删除
方法概述
第一步： 我们先按照二叉搜索树树删除节点的方式，删除节点（这一步很简单，上一篇博客介绍过）
第二步： 然后根据对应删除情况更新平衡因子，这里更新平衡因子的方法与插入的更新方法是相反的，下面我给大家分析一下整个过程
平衡因子调节
原则：旋转的方向取决于是结点parent的哪一棵子树被缩短。且把第一个不平衡的节点设为parent节点。
删除节点后，如果删除的节点为根节点，就结束。否则根据删除节点为父节点的左右调整父节点的平衡因子。如果删除节点是父节点的左孩子，那么父亲节点的平衡因子加1，否则减1。然后对父亲节点进行检索。
有以下几种情况：
第一种情况：此时父亲的平衡因子为0，则说明删除前父亲的平衡因子为1或-1，多出一个左节点或右节点，删除节点后，左右高度相等，整体高度减1，对上层有影响，需要继续调节。下面是一个演示图：（如果此时3为根节点，那么也可以结束）
第二种情况：此时父亲的平衡因子为-1或1，则说明删除前父亲的平衡因子为0，左右高度相等，删除节点后，少了一个左节点或右节点，但是整体高度不变，对上层无影响，不需要继续调节。下面是一个演示图：
第三种情况： 此时父亲节点的平衡因子为-2或2，则说明删除前父亲的平衡因子为-1或1，多了一个左节点或一个右节点，删除了一个右节点或左节点，此时多了两个左节点或右节点，这棵子树一边已经被拉高了，此时这棵子树不平衡了，需要旋转处理。下面是一个演示图：
旋转处理
这里我只分析右边高的情况，左边高和它对称的，操作是相同的。
情况一：若还未删除的时候，parent的平衡因子和subR的平衡因子相同，则执行一个单旋转来恢复平衡
操作方法： 对parent进行左旋转，因为subR的平衡因子为0，需要继续检索，然后继续迭代，把cur迭代sub的位置，parent到cur的父亲的位置
抽象图：
情况二：若还未删除的时候，subR的平衡因子为0，那么执行一个单旋转来恢复parent的平衡
操作方法： 对parent进行左旋，然后修改平衡因子，把subR的平衡因子改为-1，parent的平衡因子改为1，因为subR的平衡因子为-1，所以无需迭代，直接结束
抽象图：
情况三：若还未删除的时候，parent和subR的平衡因子相反，那么就执行一个双旋转来恢复平衡，先围绕subR旋转，再围绕parent旋转
操作方法： 对subR进行右旋，然后对parent进行左旋，此时subR的平衡因子为0，需迭代
抽象图：（三种情况）对应上面的右左双旋
如果subRL的平衡因子为0，就将它们依次改为0，0, 0；
如果subRL的平衡因子为1，就将它们依次改为-1，0, 0；
如果subRL的平衡因子为-1，就将它们依次改为0，0, 1。
值得注意的是，这三种情况最后的平衡树subRL均为0，对应这我们讲的第一种情况，subRL为0，说明它只有一个左子树或只有一个右子树，被删除了，那么高度必然发生变化，一旦高度发生变化，就必须向上迭代调整上面的节点的平衡因子，将其调整成-1或者1的时候，彻底平衡，不需要再继续调整，因为父亲节点是-1或者1，说明删除前它的左右子树均存在，那么删除其中一棵树不会影响树的高度，所以依旧不会对上面的节点的平衡因子产生影响，所以只有当调整后subRL的节点是-1和1的时候，才是真正平衡的时候
删除代码的实现
//二叉搜索树的删除
bool Erase(const K& key)
{
//树为空，删除失败
if (root == nullptr)
{
return false;
}
//parent始终是cur的父亲节点
//cur就是要找的删除的当前节点
Node* parent = nullptr;
Node* cur = root;
while (cur)
{
//小于往左边走
if (key < cur->key)
{
parent = cur;
cur = cur->left;
}
//大于往右走
else if (key > cur->key)
{
parent = cur;
cur = cur->right;
}
else
{
// 找到了，开始删除
// 1.左右子树都为空，直接删除，可以归类为左为空
// 2.左右子树只有一边为空，左为空，父亲指向我的右，右为空，父亲指向我的左
// 3.左右子树都不为空，取左子树最大的节点或右子树最小的节点和要删除的节点交换，然后再删除
//当前情况是情景三，删除的节点它的左为空，右未知
if (cur->left == nullptr)
{
// 要删除节点为根节点时，直接把右子树的根节点赋值给——root
// 根节点的话会导致parent为nullptr
if (root == cur)
{
root = root->right;
delete cur;
break;
}
else
{
//左为空，父亲指向我的右
//判断cur在父亲的左还是右
if (parent->left == cur)
{
parent->left = cur->right;
//左子树少了一个节点 ++
parent->bf++;
}
else
{
parent->right = cur->right;
//右子树少了一个节点 --
parent->bf--;
}
}
if (parent->bf != -1 && parent->bf != 1)
{
AfterEraseUpdateBf(parent);
}
delete cur;
}
//当前情况是情景二，删除节点它的右为空，左未知
else if (cur->right == nullptr)
{
if (root == cur)
{
root = root->left;
delete cur;
break;
}
else
{
//右为空，父亲指向我的左
//判断cur在父亲的左还是右
if (parent->left == cur)
{
parent->left = cur->left;
parent->bf++;
}
else
{
parent->right = cur->left;
parent->bf--;
}
}
if (parent->bf != -1 && parent->bf != 1)
{
AfterEraseUpdateBf(parent);
}
delete cur;
}
//只剩下情景四
else
{
//找右子树中最小的节点，当前cur就是要删除的节点
Node* rightMinParent = cur;
Node* rightMin = cur->right;//去右子树找最小的节点
while (rightMin->left)
{
rightMinParent = rightMin;
rightMin = rightMin->left;//一直往左走，找右子树最小的节点
}
//替代删除
cur->key = rightMin->key;
//转化成了情景三，左孩子为空
if (rightMinParent->left == rightMin)
{
rightMinParent->left = rightMin->right;
rightMinParent->bf++;
}
else
{
rightMinParent->right = rightMin->right;
rightMinParent->bf--;
}
if (rightMinParent->bf != -1 && rightMinParent->bf != 1)
{
AfterEraseUpdateBf(rightMinParent);
}
delete rightMin;
}
return true;
}
}
return false;
}
void AfterEraseUpdateBf(Node* parent)
{
if (parent == nullptr)
{
return;
}
Node* cur = parent;
goto first;
while (parent)
{
// 更新parent的平衡因子
// cur在parent的左，parent->_bf++
// cur在parent的右，parent->_bf--
if (cur == parent->left)
parent->bf++;
else
parent->bf--;
// bf 可能为 -2、-1、0、1、2
// 如果平衡因子为0，说明更新之前，parent的bf为-1或1，现在删掉了左节点或右节点，整体高度变了，对上层有影响
// 如果平衡因子为-1或1，说明更新之前，parent的bf为0，现在删掉了一个左节点或有节点，整体高度不变，对上层无影响
// 如果平衡因子为-2或2，说明更新之前，parent的bf为-1或1，现在往左（右）节点补了左（右）节点，也就另一边
// 拉高了，树不平衡了，需要用左旋转或右旋转来进行调整
first:
//此时是博客中介绍的第一种情况
if (parent->bf == 0)
{
//对上层有影响，迭代更新
//如果parent是根节点就结束
if (parent->parent == nullptr)
{
break;
}
cur = parent;
parent = parent->parent;
}
//此时是博客中介绍的第二种情况
else if (parent->bf == -1 || parent->bf == 1)
{
//对上层无影响，退出
break;
}
//只剩下第三种情况
else
{
//平衡树出现了问题，需要调整
//1.右边高，左旋转调整
if (parent->bf == 2)
{
//此时是第三种情况的情景1
/*
对parent进行左旋转，迭代
*/
if (parent->right->bf == 1)
{
RotateL(parent);
cur = parent->parent;
parent = cur->parent;
}
//此时是第三种情况的情景3
/*
对subR进行右旋转，然后对parent进行左旋，迭代
*/
else if (parent->right->bf == -1)
{
Node* subR = parent->right;
Node* subRL = subR->left;
RotateRL(parent);
// 不平衡向上调整 注意：bug1（以为调整完就是1或-1了，其实三种情况调整完均为0，需要继续向上迭代
if (subRL->bf != 1 && subRL->bf != -1)
{
cur = subRL;
parent = cur->parent;
continue;
}
}
//此时是第三种情况的情景2
/*
对parent进行左旋，然后修改平衡因子，把subR的平衡因子改为-1，
parent的平衡因子改为1，因为subR的平衡因子为-1，所以无需迭代
*/
else if (parent->right->bf == 0)
{
RotateL(parent);
parent->bf = 1;
parent->parent->bf = -1;
}
}
// 2.左边高，右旋转调整
else if (parent->bf == -2)
{
// 如果是一条直线==>右旋转即可
// 如果是一条折线==>左右旋转
if (parent->left->bf == -1)
{
RotateR(parent);
cur = parent->parent;// bug2 cur要变成这个位置是因为选择后父亲的位置变了，画图
parent = cur->parent;
continue;//parent不是-1或1就继续
}
else if (parent->left->bf == 1)// 调整后 s sR p 如果sR是1或-1可以退出
{
Node* s = parent->left;
Node* sR = s->right;
RotateLR(parent);
// 不平衡向上调整 为0时如果parent为根
if (sR->bf != 1 && sR->bf != -1)
{
cur = sR;
parent = cur->parent;
continue;
}
}
else if (parent->left->bf == 0)// 平衡因子要修改，画图感受 parent->_parent: 1 parent: -1
{
RotateR(parent);
parent->parent->bf = 1;
parent->bf = -1;
}
}
// 调整后是平衡树，bf为1或-1，不需要调整了,因为-1和1才是最后真正平衡的状态
break;
}
}
}
AVL树的查找
查找的代码和二叉搜索树是一样的，这里就不过多介绍。
代码实现如下：
//AVL树的查找
bool Find(const K& key)
{
if (root == nullptr)
return false;
Node* cur = root;
while (cur)
{
// 小于往左走
if (key < cur->key)
{
cur = cur->left;
}
// 大于往右走
else if (key > cur->key)
{
cur = cur->right;
}
else
{
// 找到了
return true;
}
}
return false;
}
AVL树完整代码以及测试
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include<iostream> //引入头文件
#include<string>//C++中的字符串
#include<vector>
using namespace std; //标准命名空间
template <class K,class V>
struct AVL_Node
{
//三叉链
AVL_Node<K, V>* left;
AVL_Node<K, V>* right;
AVL_Node<K, V>* parent;//用来定位父节点
K key;
V value;
int bf;//平衡因子 = 右子树 - 左子树
AVL_Node(const K& key, const V& value):left(nullptr),right(nullptr),parent(nullptr), key(key), value(value),bf(0)
{}
};
template <class K, class V>
class AVL_Tree
{
typedef AVL_Node<K,V> Node;
public:
/*
注意：一般选取第一个不平衡的节点作为parent
*/
//左单旋，新插入的节点在右子树的右侧
/*
步骤：
1.让subR的左孩子成为parent的右孩子
2.然后让parent成为subR的左孩子
3.最后把两个节点的平衡因子修改为0
*/
void RotateL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->right;
Node* subRL = subR->left;
//1.先把subR左边（可能为空也可能不为空）作为parent的右边
parent->right = subRL;
//2.如果subRL不为空，那么就让subRL的父指针指向parent
if (subRL)
{
subRL->parent = parent;
}
//3.先记录parent的父节点的位置，然后把parent作为subR的左边
Node* ppNode = parent->parent;
subR->left = parent;
//4.parent的父指针指向subR
parent->parent = subR;
//5.如果ppNode为空-->说明subR现在是根节点，就让subR的父指针指向nullptr
//如果不是根节点就把subR的父指针指向parent的父节点，parent的父节点（左或右）指向subR
if (ppNode == nullptr)
{
//更新根节点
root = subR;
subR->parent = nullptr;
}
else
{
//判断parent是ppNode的左还是右
if (ppNode->left == parent)
{
ppNode->left = subR;
}
else
{
ppNode->right = subR;
}
subR->parent = ppNode;
}
//6.把parent和subR的平衡因子更新为0
subR->bf = parent->bf = 0;
}
//右单旋，新插入的节点在左子树的左侧
/*
步骤：
1.让subL的右孩子成为parent的左孩子
2.然后让parent成为subL的右孩子
3.最后把两个节点的平衡因子修改为0
*/
void RotateR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->left;
Node* subLR = subL->right;
//1.先把subL的右边（可能为空也可能不为空）作为parent的左边
parent->left = subLR;
//2.如果subLR不为空，就把subLR的父指针指向parent
if (subLR)
{
subLR->parent = parent;
}
//3.记录parent的父节点的位置，然后把parent作为subL的右边
Node* ppNode = parent->parent;
subL->right = parent;
//4.parent的父亲指针指向subL
parent->parent = subL;
//5.如果ppNode为空-->说明subL现在是根节点，就让subL的父节点指向nullptr
//不是根节点就把subL的父节点指向parent的父节点，parent的父节点（左或右）指向subL
if (ppNode == nullptr)
{
//更新根节点
root = subL;
subL->parent = nullptr;
}
else
{
//判断parent是ppNode的左还是右
if (ppNode->left == parent)
{
ppNode->left = subL;
}
else
{
ppNode->right = subL;
}
subL->parent = ppNode;
}
//6.把parent和subL的平衡因子更新为0
subL->bf = parent->bf = 0;
}
//二叉树的插入
bool Insert(const K& key, const V& value)
{
//先按照二叉搜索树一样插入元素
//无节点插入
if (root == nullptr)
{
root = new Node(key,value);
return true;
}
//有节点时插入
Node* parent = nullptr;
Node* cur = root;
while (cur)
{
parent = cur;
//小于往左走
if (key < cur->key)
{
cur = cur->left;
}
//大于往右走
else if (key > cur->key)
{
cur = cur->right;
}
else
{
//找到了，就返回false
return false;
}
}
cur = new Node(key,value);
// 判断cur应该插在parent的左还是右
// 小于在左，大于在右
if (cur->key < parent->key)
{
parent->left = cur;
cur->parent = parent;
}
else
{
parent->right = cur;
cur->parent = parent;
}
// 更新parent的平衡因子
// 节点的插入只会影响cur的祖先的平衡因子（不是所有的，是一部分，分情况）
while (parent)
{
// 更新parent的平衡因子
// cur在parent的左，parent->bf--
// cur在parent的右，parent->bf++
if (cur == parent->left)
parent->bf--;
else
parent->bf++;
// bf 可能为 -2、-1、0、1、2
// 如果平衡因子为0，说明更新之前，parent的bf为-1或1，现在补齐了左节点或右节点，bf==0，对上层无影响
// 如果平衡因子为-1或1，说明更新之前，parent的bf为0，现在增加了一个左节点或有节点，bf==-1 || bf==1,对上层有影响
// 如果平衡因子为-2或2，说明更新之前，parent的bf为-1或1，现在往左（右）节点补了左（右）节点，也就是一边
// 拉高了，树不平衡了，需要用左旋转或右旋转来进行调整
if (parent->bf == 0)
{
//对上层没有影响，退出
break;
}
else if(parent->bf == -1 || parent->bf == 1)
{
// 对上层有影响，迭代更新
cur = parent;
parent = parent->parent;
}
else
{
// 平衡树出现了问题，需要调整
// 1.右边高，左旋转调整
if (parent->bf == 2)
{
// 如果是一条直线==>左旋转即可
// 如果是一条折线==>右左旋转
if (cur->bf == 1)
RotateL(parent);
else if (cur->bf == -1)
RotateRL(parent);
}
// 2.左边高，右旋转调整
else if (parent->bf == -2)
{
// 如果是一条直线==>右旋转即可
// 如果是一条折线==>左右旋转
if (cur->bf == -1)
RotateR(parent);
else if (cur->bf == 1)
RotateLR(parent);
}
// 调整后是平衡树，bf为0，不需要调整了
break;
}
}
return true;
}
//右左双旋，新插入的节点在右子树的左侧
/*
步骤：
1.先对subR进行一个右单旋
2在对parent进行一个左单旋然后修改平衡因子
*/
void RotateRL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->right;
Node* subRL = subR->left;
int bf = subRL->bf;//保留subRL的平衡因子的值，方便直到新插入的节点是在subRL左子树还是右子树
//旋转 先对subR进行右旋转，再对parent进行左旋转
RotateR(subR);
RotateL(parent);
// 从左到右 parent subRL subR
if (bf == -1)// subRL的左子树 bf: 0 0 1
{
parent->bf = 0;
subRL->bf = 0;
subR->bf = 1;
}
else if (bf == 1)// subRL的右子树 bf: -1 0 0
{
parent->bf = -1;
subRL->bf = 0;
subR->bf = 0;
}
else if (bf == 0)
{
parent->bf = 0;
subRL->bf = 0;
subR->bf = 0;
}
}
//左右双旋，新插入的节点在左子树的右侧
/*
步骤：
1.先对subR进行一个左单旋
2.在对parent进行一个右单旋然后修改平衡因子
*/
void RotateLR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->left;
Node* subLR = subL->right;
int bf = subLR->bf;//保留subLR的平衡因子的值，方便直到新插入的节点是在subLR左子树还是右子树
//旋转先对subL进行左旋转，再对parent进行右旋转
RotateL(subL);
RotateR(parent);
//从左到右 subL subLR parent
if (bf == -1)// subLR的左子树 bf: 0 0 1
{
subL->bf = 0;
subLR->bf = 0;
parent->bf = 1;
}
else if (bf == 1)// subLR的右子树 bf: -1 0 0
{
subL->bf = -1;
subLR->bf = 0;
parent->bf = 0;
}
else if (bf == 0)
{
subL->bf = 0;
subLR->bf = 0;
parent->bf = 0;
}
}
//二叉搜索树的删除
bool Erase(const K& key)
{
//树为空，删除失败
if (root == nullptr)
{
return false;
}
//parent始终是cur的父亲节点
//cur就是要找的删除的当前节点
Node* parent = nullptr;
Node* cur = root;
while (cur)
{
//小于往左边走
if (key < cur->key)
{
parent = cur;
cur = cur->left;
}
//大于往右走
else if (key > cur->key)
{
parent = cur;
cur = cur->right;
}
else
{
// 找到了，开始删除
// 1.左右子树都为空，直接删除，可以归类为左为空
// 2.左右子树只有一边为空，左为空，父亲指向我的右，右为空，父亲指向我的左
// 3.左右子树都不为空，取左子树最大的节点或右子树最小的节点和要删除的节点交换，然后再删除
//当前情况是情景三，删除的节点它的左为空，右未知
if (cur->left == nullptr)
{
// 要删除节点为根节点时，直接把右子树的根节点赋值给——root
// 根节点的话会导致parent为nullptr
if (root == cur)
{
root = root->right;
delete cur;
break;
}
else
{
//左为空，父亲指向我的右
//判断cur在父亲的左还是右
if (parent->left == cur)
{
parent->left = cur->right;
//左子树少了一个节点 ++
parent->bf++;
}
else
{
parent->right = cur->right;
//右子树少了一个节点 --
parent->bf--;
}
}
if (parent->bf != -1 && parent->bf != 1)
{
AfterEraseUpdateBf(parent);
}
delete cur;
}
//当前情况是情景二，删除节点它的右为空，左未知
else if (cur->right == nullptr)
{
if (root == cur)
{
root = root->left;
delete cur;
break;
}
else
{
//右为空，父亲指向我的左
//判断cur在父亲的左还是右
if (parent->left == cur)
{
parent->left = cur->left;
parent->bf++;
}
else
{
parent->right = cur->left;
parent->bf--;
}
}
if (parent->bf != -1 && parent->bf != 1)
{
AfterEraseUpdateBf(parent);
}
delete cur;
}
//只剩下情景四
else
{
//找右子树中最小的节点，当前cur就是要删除的节点
Node* rightMinParent = cur;
Node* rightMin = cur->right;//去右子树找最小的节点
while (rightMin->left)
{
rightMinParent = rightMin;
rightMin = rightMin->left;//一直往左走，找右子树最小的节点
}
//替代删除
cur->key = rightMin->key;
//转化成了情景三，左孩子为空
if (rightMinParent->left == rightMin)
{
rightMinParent->left = rightMin->right;
rightMinParent->bf++;
}
else
{
rightMinParent->right = rightMin->right;
rightMinParent->bf--;
}
if (rightMinParent->bf != -1 && rightMinParent->bf != 1)
{
AfterEraseUpdateBf(rightMinParent);
}
delete rightMin;
}
return true;
}
}
return false;
}
void AfterEraseUpdateBf(Node* parent)
{
if (parent == nullptr)
{
return;
}
Node* cur = parent;
goto first;
while (parent)
{
// 更新parent的平衡因子
// cur在parent的左，parent->_bf++
// cur在parent的右，parent->_bf--
if (cur == parent->left)
parent->bf++;
else
parent->bf--;
// bf 可能为 -2、-1、0、1、2
// 如果平衡因子为0，说明更新之前，parent的bf为-1或1，现在删掉了左节点或右节点，整体高度变了，对上层有影响
// 如果平衡因子为-1或1，说明更新之前，parent的bf为0，现在删掉了一个左节点或有节点，整体高度不变，对上层无影响
// 如果平衡因子为-2或2，说明更新之前，parent的bf为-1或1，现在往左（右）节点补了左（右）节点，也就另一边
// 拉高了，树不平衡了，需要用左旋转或右旋转来进行调整
first:
//此时是博客中介绍的第一种情况
if (parent->bf == 0)
{
//对上层有影响，迭代更新
//如果parent是根节点就结束
if (parent->parent == nullptr)
{
break;
}
cur = parent;
parent = parent->parent;
}
//此时是博客中介绍的第二种情况
else if (parent->bf == -1 || parent->bf == 1)
{
//对上层无影响，退出
break;
}
//只剩下第三种情况
else
{
//平衡树出现了问题，需要调整
//1.右边高，左旋转调整
if (parent->bf == 2)
{
//此时是第三种情况的情景1
/*
对parent进行左旋转，迭代
*/
if (parent->right->bf == 1)
{
RotateL(parent);
cur = parent->parent;
parent = cur->parent;
}
//此时是第三种情况的情景3
/*
对subR进行右旋转，然后对parent进行左旋，迭代
*/
else if (parent->right->bf == -1)
{
Node* subR = parent->right;
Node* subRL = subR->left;
RotateRL(parent);
// 不平衡向上调整 注意：bug1（以为调整完就是1或-1了，其实三种情况调整完均为0，需要继续向上迭代
if (subRL->bf != 1 && subRL->bf != -1)
{
cur = subRL;
parent = cur->parent;
continue;
}
}
//此时是第三种情况的情景2
/*
对parent进行左旋，然后修改平衡因子，把subR的平衡因子改为-1，
parent的平衡因子改为1，因为subR的平衡因子为-1，所以无需迭代
*/
else if (parent->right->bf == 0)
{
RotateL(parent);
parent->bf = 1;
parent->parent->bf = -1;
}
}
// 2.左边高，右旋转调整
else if (parent->bf == -2)
{
// 如果是一条直线==>右旋转即可
// 如果是一条折线==>左右旋转
if (parent->left->bf == -1)
{
RotateR(parent);
cur = parent->parent;// bug2 cur要变成这个位置是因为选择后父亲的位置变了，画图
parent = cur->parent;
continue;//parent不是-1或1就继续
}
else if (parent->left->bf == 1)// 调整后 s sR p 如果sR是1或-1可以退出
{
Node* s = parent->left;
Node* sR = s->right;
RotateLR(parent);
// 不平衡向上调整 为0时如果parent为根
if (sR->bf != 1 && sR->bf != -1)
{
cur = sR;
parent = cur->parent;
continue;
}
}
else if (parent->left->bf == 0)// 平衡因子要修改，画图感受 parent->_parent: 1 parent: -1
{
RotateR(parent);
parent->parent->bf = 1;
parent->bf = -1;
}
}
// 调整后是平衡树，bf为1或-1，不需要调整了,因为-1和1才是最后真正平衡的状态
break;
}
}
}
//AVL树的查找
bool Find(const K& key)
{
if (root == nullptr)
return false;
Node* cur = root;
while (cur)
{
// 小于往左走
if (key < cur->key)
{
cur = cur->left;
}
// 大于往右走
else if (key > cur->key)
{
cur = cur->right;
}
else
{
// 找到了
return true;
}
}
return false;
}
//中序遍历（递归）
void InOrder()
{
_InOrder(root);
cout << endl;
}
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == NULL)
{
return;
}
else
{
_InOrder(root->left);
cout << root->key << ":" << root->value<<" ";
_InOrder(root->right);
}
}
int _Height(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return 0;
int leftHeight = _Height(root->left);
int rightHeight = _Height(root->right);
return 1 + max(leftHeight, rightHeight);
}
bool _IsBalanceTree(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return true;
int leftHeight = _Height(root->left);
int rightHeight = _Height(root->right);
return rightHeight - leftHeight == root->bf
&& abs(rightHeight - leftHeight) < 2
&& _IsBalanceTree(root->left)
&& _IsBalanceTree(root->right);
}
public:
Node* root = nullptr;
};
void TestAVLTree1()
{
AVL_Tree<int, int> at;
//srand((size_t)time(nullptr));
int b[] = { 4,3,5,3,1,2,7 };//出错
//int b[] = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9 };正确
//int b[] = { 2,4,6,3,5,1,9,10,8,7 };正确
//int b[] = {4,2,3,5};//出错,插入3出错
//int b[] = { 16,3,7,11,9,26,18,14,15 };//出错
//int b[] = { 4,2,6,1,3,5,15,7,16,14 };//出错
// int* a = new int[10000];
/*int i = 1;
for (auto& e : a)
{
e = i++;
}*/
vector<int> a;
for (size_t i = 0; i < sizeof(b)/sizeof(int); ++i)
{
// a.push_back(rand());
a.push_back(b[i]);
}
for (auto e : a)
{
at.Insert(e,e);
cout << "插入 " << e << " 后变化 --> Height: " << at._Height(at.root) << " 是否为AVLTree：" << at._IsBalanceTree(at.root)<<endl;
cout << "打印二叉树： ";
at.InOrder();
}
cout << "------------------------------------------------------" << endl;
// at.InOrder();
for (auto e : a)
{
at.Erase(e);
cout << "删除 " << e << " 后变化 --> Height: " << at._Height(at.root) << " 是否为AVLTree：" << at._IsBalanceTree(at.root) << endl;
cout << "打印二叉树： ";
at.InOrder();
}
at.InOrder();
}
int main()
{
TestAVLTree1();
system("pause");
return EXIT_SUCCESS;
}
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