只能说没想到


题面

给出一个 \(n\times m\) 的网格图,每个格子要么是空地要么是障碍。

给出 \(q\) 个询问,每次给出 \((sx, sy),(ex,ey)\),问从 \((sx,sy)\) 出发,只能向下或向右走,能否到达 \((ex,ey)\)。

数据规模:\(n,m\le500\),\(q\le6\times10^5\)。


解析

只能向右或向下走就保证了转移无环,由此联想到另一道题(忘了具体哪道题了):用线段树维护从 \((l,i)\) 到 \((r,j)\) 的路径信息。该题主要利用了两条路径比较容易合并的性质。

这道题不涉及修改,不需要线段树,可以直接猫树分治

将询问离线,每次处理横坐标跨过区间中点的询问。对区间 \([l,r]\) 只需要预处理 \((p,i)\to(mid,k)\)(\(p\in[l,mid]\))的连通性和 \((mid,k)\to(q,j)\)(\(q\in[mid,r]\))的连通性即可。

询问只需要判断是否存在 \(k\) 使得路径 \((sx,sy)\to(mid,k)\to(ex,ey)\) 合法。

可以用 bitset 优化 —— 储存 \((p,i)\) 向右下走能到达 \(x=mid\) 的哪些点,以及 \((q,j)\) 向左上走能到达 \(x=mid\) 的哪些点。查询可以一次 bitset 求交集。

复杂度 \(\mathcal{O}(\frac{n^3\log n+nq}{w})\)。


源代码

/* Lucky_Glass */
#include <bitset>
#include <cstdio>
#include <cassert>
#include <cstring>
#include <algorithm> #define CON(typ) const typ & const int N = 505, M = 6e5 + 10; int rin(int &r) {
int c = getchar(); r = 0;
while (c < '0' || '9' < c) c = getchar();
while ('0' <= c && c <= '9') r = r * 10 + (c ^ '0'), c = getchar();
return r;
} int n, m, qry_cnt;
char maz[N][N];
int qry[M][4], qry_id[M], tmp_id[M];
bool ans[M];
std::bitset<N> dp[N][N], dp_rev[N][N]; void solve(CON(int) xl, CON(int) xr, CON(int) ql, CON(int) qr) {
if (ql > qr) return;
assert(xl <= xr);
int mi = (xl + xr) >> 1; for (int j = m; j; --j)
if (maz[mi][j] == '.') dp[mi][j] = dp[mi][j + 1], dp[mi][j].set(j, 1);
else dp[mi][j] = 0;
for (int i = mi - 1; i >= xl; --i)
for (int j = m; j; --j)
if (maz[i][j] == '.') dp[i][j] = dp[i + 1][j] | dp[i][j + 1];
else dp[i][j] = 0; for (int j = 1; j <= m; ++j)
if (maz[mi][j] == '.') {
dp_rev[mi][j] = dp_rev[mi][j - 1], dp_rev[mi][j].set(j, 1);
} else {
dp_rev[mi][j] = 0;
}
for (int i = mi + 1; i <= xr; ++i)
for (int j = 1; j <= m; ++j)
if (maz[i][j] == '.') dp_rev[i][j] = dp_rev[i - 1][j] | dp_rev[i][j - 1];
else dp_rev[i][j] = 0; int qll = ql - 1, qrr = qr + 1;
for (int i = ql; i <= qr; ++i)
if (qry[qry_id[i]][0] <= mi && mi <= qry[qry_id[i]][2]) {
int *now = qry[qry_id[i]];
ans[qry_id[i]] = (dp[now[0]][now[1]] & dp_rev[now[2]][now[3]]) != 0;
} else if (qry[qry_id[i]][0] > mi) {
tmp_id[--qrr] = qry_id[i];
} else {
tmp_id[++qll] = qry_id[i];
}
for (int i = ql; i <= qll; ++i) qry_id[i] = tmp_id[i];
for (int i = qrr; i <= qr; ++i) qry_id[i] = tmp_id[i]; solve(xl, mi - 1, ql, qll);
solve(mi + 1, xr, qrr, qr);
}
int main() {
rin(n), rin(m);
for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%s", maz[i] + 1);
rin(qry_cnt);
for (int i = 1; i <= qry_cnt; ++i) {
rin(qry[i][0]), rin(qry[i][1]), rin(qry[i][2]), rin(qry[i][3]);
qry_id[i] = i;
} solve(1, n, 1, qry_cnt); for (int i = 1; i <= qry_cnt; ++i)
printf("%s\n", ans[i] ? "Yes" : "No");
return 0;
}

THE END

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历过沧海的变迁
再难为江河的涡旋
我寻找着 沉默的桑田 坎坷万千
眺望过巫山之巅
再不是浮云的翩跹
我寻找着 属于我的那片云烟
在下个时刻出现

——《巫山云》By Snapmod / 诗岸

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