数据结构与算法系列----最小生成树(Prim算法&Kruskal算法)
一:Prim算法
1.概览
普里姆算法(Prim算法)。图论中的一种算法。可在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中。不但包含了连通图里的全部顶点(英语:Vertex (graph theory))。且其全部边的权值之和亦为最小。
该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克(英语:Vojtěch Jarník)发现。并在1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆(英语:Robert C. Prim)独立发现;1959年,艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法。
因此,在某些场合。普里姆算法又被称为DJP算法、亚尔尼克算法或普里姆-亚尔尼克算法。
2.算法简单描写叙述
1).输入:一个加权连通图。当中顶点集合为V,边集合为E。
2).初始化:Vnew = {x}。当中x为集合V中的任一节点(起始点)。Enew = {},为空;
3).反复下列操作,直到Vnew = V:
a.在集合E中选取权值最小的边<u, v>,当中u为集合Vnew中的元素,而v不在Vnew集合当中,而且v∈V(假设存在有多条满足前述条件即具有同样权值的边。则可随意选取当中之中的一个);
b.将v增加集合Vnew中。将<u, v>边增加集合Enew中;
4).输出:使用集合Vnew和Enew来描写叙述所得到的最小生成树。
3.算法的图例描写叙述
图例 | 说明 | 不可选 | 可选 | 已选(Vnew) |
---|---|---|---|---|
此为原始的加权连通图。每条边一側的数字代表其权值。 | - | - | - | |
watermark/2/text/aHR0cDovL2Jsb2cuY3Nkbi5uZXQv/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70/gravity/Center" alt="" height="168" width="132"> |
顶点D被随意选为起始点。顶点A、B、E和F通过单条边与D相连。
A是距离D近期的顶点, |
C, G | A, B, E, F | D |
下一个顶点为距离D或A近期的顶点。B距D为9,距A为7,E为15,F为6。因此, F距D或A近期,因此将顶点F与对应边DF以高亮表示。 |
C, G | B, E, F | A, D | |
算法继续反复上面的步骤。距离A为7的顶点B被高亮表示。 | C | B, E, G | A, D, F | |
在当前情况下,能够在C、E与G间进行选择。
C距B为8。E距B为7,G距F为11。 |
无 | C, E, G | A, D, F, B | |
这里。可供选择的顶点仅仅有C和G。
C距E为5,G距E为9。故选取C, |
无 | C, G | A, D, F, B, E | |
顶点G是唯一剩下的顶点。它距F为11。距E为9,E近期,故高亮表示G 及对应边EG。 |
无 | G | A, D, F, B, E, C | |
watermark/2/text/aHR0cDovL2Jsb2cuY3Nkbi5uZXQv/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70/gravity/Center" alt="" height="168" width="132"> |
如今,全部顶点均已被选取,图中绿色部分即为连通图的最小生成树。 在此例中,最小生成树的权值之和为39。 |
无 | 无 | A, D, F, B, E, C, G |
4.简单证明prim算法
反证法:如果prim生成的不是最小生成树
1).设prim生成的树为G0
2).如果存在Gmin使得cost(Gmin)<cost(G0) 则在Gmin中存在<u,v>不属于G0
3).将<u,v>增加G0中可得一个环,且<u,v>不是该环的最长边(这是由于<u,v>∈Gmin)
4).这与prim每次生成最短边矛盾
5).故如果不成立。命题得证.
完整代码例如以下:
用邻接矩阵存储图,设置两个数组lowCost和adjIndex,当中前者代表边的权值,后者代表相应lowCost该边的起点。
#include<iostream>
using namespace std; int graph[20][20];//邻接矩阵
char * vertex;//保存顶点 int Prim(int&); int main()
{ /* 6 10 A B C D E F 0 1 6
0 2 1
0 3 5
1 2 5
1 4 3
3 2 5
3 5 2
2 5 4
2 4 6
4 5 6 */ //////1.输入图的顶点数和弧数
cout << "请输入图的顶点数和弧数: ";
int vexNum, arcNum;
cin >> vexNum >> arcNum; //////2.初始化邻接矩阵
for (int i = 0; i < vexNum; i++)
for (int j = 0; j < vexNum; j++)
graph[i][j] = INT_MAX;//无限大 /////3.输入顶点
cout << "请输入" << vexNum << "个顶点信息: ";
vertex = new char[vexNum];
for (int i = 0; i < vexNum; i++)
cin >> vertex[i]; //////4.输入弧信息(边的方向和权值)
cout << "请输入" << arcNum << "个弧的信息: \n";
int a, b, c;
for (int i = 0; i < arcNum; i++)
{
cin >> a >> b >> c;
graph[a][b] = c;
graph[b][a] = c;
} //////5.输出最小生成树
cout << "\n\n最小树为: \n";
int x = Prim(vexNum);
cout << "\n最小权和为" << x << endl<<endl; return 0;
} int Prim(int & _vexNum)//Prim最小生成树
{
int * lowCost = new int[_vexNum];//保存边上的权值
int * adjIndex = new int[_vexNum];// for (int i = 1; i < _vexNum; i++)
{
lowCost[i] = graph[0][i];
adjIndex[i] = 0;
}
lowCost[0] = 0;//z这里用了一个技巧,赋值为0表示该点已增加生成树,以后不做处理,相当于常常碰见的visited标记数组,当然你也能够赋值为-1
adjIndex[0] = 0; int min, minIndex,sum=0;
for (int i = 1; i < _vexNum; i++)
{
min = INT_MAX;
for (int j = 1; j < _vexNum; j++)//找到权值最小
{
if (lowCost[j] < min && lowCost[j]!=0)
{
min = lowCost[j];
minIndex = j;
}
} cout << vertex[adjIndex[minIndex]] << "------>" << vertex[minIndex] << endl;
sum += min;
lowCost[minIndex] = 0;
adjIndex[minIndex] = 0; for (int j = 1; j < _vexNum; j++)//更新lowCost和adjIndex数组
{
if (graph[minIndex][j] < lowCost[j])
{
lowCost[j] = graph[minIndex][j];
adjIndex[j] = minIndex;
}
}
} delete []lowCost;
delete []adjIndex; return sum;
}
以上代码所构建的图为:
执行例如以下:
二:Kruskal算法
1.概览
Kruskal克鲁斯卡尔算法是一种用来寻找最小生成树的算法,由Joseph Kruskal在1956年发表。
用来解决相同问题的还有Prim算法和Boruvka算法等。三种算法都是贪婪算法的应用。
和Boruvka算法不同的地方是,Kruskal算法在图中存在相同权值的边时也有效。
2.算法简单描写叙述
1).记Graph中有v个顶点,e个边
2).新建图Graphnew,Graphnew中拥有原图中同样的e个顶点。但没有边
3).将原图Graph中全部e个边按权值从小到大排序
4).循环:从权值最小的边開始遍历每条边。直至图Graph中全部的节点都在同一个连通分量中,if 这条边连接的两个节点于图Graphnew中不在同一个连通分量中。加入这条边到图Graphnew中。
3.图例描写叙述
首先第一步。我们有一张图Graph。有若干点和边
将全部的边的长度排序。用排序的结果作为我们选择边的根据。
这里再次体现了贪心算法的思想。资源排序。对局部最优的资源进行选择,排序完毕后。我们领先选择了边AD。
这样我们的图就变成了左图
在剩下的变中寻找。我们找到了CE。
这里边的权重也是5
依次类推我们找到了6,7,7,即DF。AB,BE。
以下继续选择, BC或者EF虽然如今长度为8的边是最小的未选择的边。可是如今他们已经连通了(对于BC能够通过CE,EB来连接,类似的EF能够通过EB,BA,AD,DF来接连)。所以不须要选择他们。类似的BD也已经连通了(这里上图的连通线用红色表示了)。
当然我们选择了EG。最后成功的图就是左图:
4.简单证明Kruskal算法
对图的顶点数n做归纳,证明Kruskal算法对随意n阶图适用。
归纳基础:
n=1。显然可以找到最小生成树。
归纳过程:
如果Kruskal算法对n≤k阶图适用,那么,在k+1阶图G中。我们把最短边的两个端点a和b做一个合并操作,即把u与v合为一个点v',把原来接在u和v的边都接到v'上去,这样就行得到一个k阶图G'(u,v的合并是k+1少一条边)。G'最小生成树T'可以用Kruskal算法得到。
我们证明T'+{<u,v>}是G的最小生成树。
用反证法:
如果T'+{<u,v>}不是最小生成树,最小生成树是T,即W(T)<W(T'+{<u,v>})。显然T应该包括<u,v>。否则,能够用<u,v>增加到T中,形成一个环,删除环上原有的随意一条边,形成一棵更小权值的生成树。而T-{<u,v>}。是G'的生成树。所以W(T-{<u,v>})<=W(T'),也就是W(T)<=W(T')+W(<u,v>)=W(T'+{<u,v>}),产生了矛盾。于是如果不成立,T'+{<u,v>}是G的最小生成树。Kruskal算法对k+1阶图也适用。由数学归纳法,Kruskal算法得证。
代码实现:
下面代码使用了并查集,关于并查集内容,请參考: http://blog.csdn.net/laojiu_/article/details/50769868
#include<iostream>
#include<algorithm> using namespace std; struct Edge//表示一条边
{
int u;//起始顶点
int v;//结尾顶点
int w;//该边的权值
}; bool cmp(Edge edge1, Edge edge2)
{
return (edge1.w < edge2.w);
} Edge* edge;//存储边的数组
int* father;
int vexNum, arcNum;//顶点数。边数 int Kruskal();
int Find(int x);
void Join(int x, int y); int main()
{ /* 6 10 0 1 6
0 2 1
0 3 5
1 2 5
1 4 3
3 2 5
3 5 2
2 5 4
2 4 6
4 5 6 */ cout << "请输入图的顶点数和弧数: ";
cin >> vexNum >> arcNum; father = new int[vexNum];
for (int i = 0; i < vexNum; i++)
father[i] = i; cout << "请输入" << arcNum << "条边的信息:\n";
edge = new Edge[arcNum];
for (int i = 0; i < arcNum; i++)
cin >> edge[i].u >> edge[i].v >> edge[i].w; cout << Kruskal() << endl; delete[]edge;
delete[]father; return 0;
} int Find(int x)
{
return (x == father[x]) ? x : Find(father[x]);
} void Join(int x, int y)
{
int root_x = Find(x);
int root_y = Find(y); if (root_x != root_y)
father[root_x] = root_y;
} int Kruskal()
{
int sum = 0;//最小路径权值和
int finished = 0;//最小生成树的边数应该是顶点数-1,在此设置变量标记是否完毕 sort(edge, edge + arcNum, cmp); for (int i = 0; i < arcNum&&finished < vexNum - 1; i++)
{
int root_u = Find(edge[i].u);
int root_v = Find(edge[i].v); if (root_u != root_v)
{
Join(edge[i].u, edge[i].v); finished++; cout << edge[i].u << "----->" << edge[i].v << endl; sum += edge[i].w;
}
} return sum;
}
数据測试在代码里,方便读者測试程序的正确性。如有错误。请指出,感谢!
返回文件夹---->数据结构与算法文件夹
參考链接和图片资源来自:
严蔚敏的数据结构。
http://blog.csdn.net/yeruby/article/details/38615045。
http://www.cnblogs.com/biyeymyhjob/archive/2012/07/30/2615542.html。
数据结构与算法系列----最小生成树(Prim算法&Kruskal算法)的更多相关文章
- 转载:最小生成树-Prim算法和Kruskal算法
本文摘自:http://www.cnblogs.com/biyeymyhjob/archive/2012/07/30/2615542.html 最小生成树-Prim算法和Kruskal算法 Prim算 ...
- 最小生成树Prim算法和Kruskal算法
Prim算法(使用visited数组实现) Prim算法求最小生成树的时候和边数无关,和顶点树有关,所以适合求解稠密网的最小生成树. Prim算法的步骤包括: 1. 将一个图分为两部分,一部分归为点集 ...
- 最小生成树---Prim算法和Kruskal算法
Prim算法 1.概览 普里姆算法(Prim算法),图论中的一种算法,可在加权连通图里搜索最小生成树.意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中,不但包括了连通图里的所有顶点(英语:Vertex (gra ...
- 最小生成树——Prim算法和Kruskal算法
洛谷P3366 最小生成树板子题 这篇博客介绍两个算法:Prim算法和Kruskal算法,两个算法各有优劣 一般来说当图比较稀疏的时候,Kruskal算法比较快 而当图很密集,Prim算法就大显身手了 ...
- 最小生成树Prim算法和Kruskal算法(转)
(转自这位大佬的博客 http://www.cnblogs.com/biyeymyhjob/archive/2012/07/30/2615542.html ) Prim算法 1.概览 普里姆算法(Pr ...
- hdu1233 最小生成树Prim算法和Kruskal算法
Prim算法 时间复杂度:O(\(N^2\),N为结点数) 说明:先任意找一个点标记,然后每次找一条最短的两端分别为标记和未标记的边加进来,再把未标记的点标记上.即每次加入一条合法的最短的边,每次扩展 ...
- 【数据结构】最小生成树之prim算法和kruskal算法
在日常生活中解决问题经常需要考虑最优的问题,而最小生成树就是其中的一种.看了很多博客,先总结如下,只需要您20分钟的时间,就能完全理解. 比如:有四个村庄要修四条路,让村子能两两联系起来,这时就有最优 ...
- 最小生成树之Prim算法和Kruskal算法
最小生成树算法 一个连通图可能有多棵生成树,而最小生成树是一副连通加权无向图中一颗权值最小的生成树,它可以根据Prim算法和Kruskal算法得出,这两个算法分别从点和边的角度来解决. Prim算法 ...
- 【数据结构】 最小生成树(二)——kruskal算法
上一期说完了什么是最小生成树,这一期咱们来介绍求最小生成树的算法:kruskal算法,适用于稀疏图,也就是同样个数的节点,边越少就越快,到了数据结构与算法这个阶段了,做题靠的就是速度快,时间复杂度小. ...
随机推荐
- 清除eclipse中的SVN账号信息
清除eclipse中的SVN账号信息 参考了:http://blog.csdn.net/ningtieming/article/details/60469346 需要先在资源管理器中使用Tortois ...
- C++ Primer 学习笔记与思考_3 ---头文件那些事儿(extern)
(一)extern在头文件里的使用方法 由于头文件包括在多个源文件里.而且变量的定义仅仅能出现一次,所以在头文件里. 仅仅能够声明不能够出现定义. 我们能够在头文件里用extern声明全局变量,这样在 ...
- hdu(2846)Repository
Problem Description When you go shopping, you can search in repository for avalible merchandises by ...
- 准确率99%!基于深度学习的二进制恶意样本检测——瀚思APT 沙箱恶意文件检测使用的是CNN,LSTM TODO
所以我们的流程如图所示.将正负样本按 1:1 的比例转换为图像.将 ImageNet 中训练好的图像分类模型作为迁移学习的输入.在 GPU 集群中进行训练.我们同时训练了标准模型和压缩模型,对应不同的 ...
- Repeater 中 OnItemCommand 用法
<table> <asp:Repeater ID="rptList" runat="server"OnItemCommand="rp ...
- 编译安装FFmpeg 要支持xvid、x264、mp3、ogg、amr、faac
编译安装FFmpeg 要支持xvid.x264.mp3.ogg.amr.faac libfaac faac格式的编解码包libmp3lame mp3格式编解码包libopencore-am ...
- IIS7.0与AP.NET
IIS7在请求的监听和分发机制上进行了革新性的改进,主要体现在对于Windows进行激活服务(Windows Process Activation Service ,WAS)的引入,将原来的W3SVC ...
- java8 stream 流 例子
Trader raoul = new Trader("Raoul", "Cambridge"); Trader mario = new Trader(" ...
- JSTL教程 [JSP 标准标记库]
JSTL教程- - JSP 标准标记库(JSP Standard Tag Library,JSTL)是一个实现 Web 应用程序中常见的通用功能的定制标记库集,这些功能包括迭代和条件判断.数据管理格式 ...
- 一个关于传参数js数组的封装方法(寄生模式)
function createArr(){ var arr = new Array(); arr.push.apply(arr,arguments); arr.toJoin = function(){ ...