Lorenzini:Laplacian与图上的黎曼-罗赫定理

前两天去听了一下搞代数几何的Dino Lorenzini在交大的两场讲座（“On Laplacian Of Graphs and Generalization”,“Riemann-Roch Theorem for graphs and generalizations”），在此将笔记整理一下。$\newcommand \diag{\mathrm{diag}} \newcommand\Z{\mathbb{Z}} \newcommand\Pic{\mathrm{Pic}} \newcommand\img{\mathrm{Im}} \newcommand\di{\mathrm{div}}$

目录

• 1 图的Laplacian
• 2 算术图与Picard群
• 3 算术图的不变量
• 4 图上的Riemann-Roch定理与双变量zeta函数

首先定义一些记号：$G$是一个连通无向图，有$n$个顶点（记为$v_1,v_2,\cdots,v_n$），$m$条边,且无自循环。$A$为$G$的领接矩阵，即为$(a_{ij})$，其中$a_{ij}$为$v_i$与$v_j$($i\not= j$)之间边的个数，$a_{ii}=0$。图的Laplacian是$D-A$,其中$D$是对角阵，$\mathrm{diag}(d_1,d_2,\cdots,d_n)$,其中$d_i$为$a_i$的度，即连接到$v_i$的边的个数。

1.图的Laplacian以及Smith标准型

对于一个图的Laplacian来说，在代数图论中研究的大多是它的特征值。而在矩阵理论中，除了特征值以外还有其他一些不变量，比如说Smith标准型。

定义1 （Smith标准型） 整系数矩阵$M$的Smith标准型是$\mathrm{SNF}=\mathrm{diag}(\delta_1,\delta_2\cdots,\delta_n)$,其中$\delta_1\cdots\delta_i=\Delta_i$,其中$\Delta_i$是$M$的所有$i$阶子式的最大公因数。

注意到它同样有一个等价定义，也就是说，$m\times n$阶矩阵$M$的Smith标准型是$SMT$,其中$S,T$分别为$m\times m$以及$n\times n$阶的矩阵。使得$SMT$为对角阵$\mathrm{diag}(\delta_1,\delta_2\cdots,\delta_n)$,使得$\delta_1|\delta_2|\cdots |\delta_n$,其中$\delta_i\in\mathbb{Z}$。同样我们可以注意到，当$\det{M}=0$的时候，$\delta_n=0$。

我们知道，对于Laplacian矩阵$M$的特征值$\lambda_1,\cdots,\lambda_n$,可以使$\lambda_1\ge\lambda_2\ge\cdots\ge\lambda_n=0$。而图的生成树的个数不是别的，就是\[\#(\mbox{生成树})=\frac{1}{n}\lambda_1\cdots\lambda_{n-1}.\]这是代数图论中经典的Kirchhoff定理。通过Smith标准型的第一个定义，我们同样可以容易知道\[\#(\mbox{生成树})=\delta_1\cdots\delta_{n-1}.\]（通过对Kirchhoff定理的证明可以看出，图的生成树个数正是Laplacian的任意一个$n-1$阶子式的行列式绝对值）

Smith标准型与特征值的联系不仅限于此，如果我们定义$\mu$为相异特征值的乘积，那么如下定理成立

定理2 （Smith标准型与特征值联系）

1. $\mu\in\mathbb{Z}$
2. $n|\mu$
3. $\delta_{n-1}|\mu$,但是一般来说，$\delta_{n-1}\nmid \frac{\mu}{n}$

定理的证明可见Lorenzini的文章。

2.算术图(Arithmetical graph)以及Picard群

每一个图，我们都有一个Laplacian矩阵$M$。而我们又知道，$M(1,1,\cdots,1)'=0$,所以我们可否将Laplacian的概念推广呢？这样就引出了“算术图”的想法。

定义3 (算术图) 算术图是三元组$(G,M,R)$使得以下成立：

1. $G$为图
2. $M=C-A$,其中$A$为领接矩阵，$C$为系数为正整数的对角阵,记为$\mathrm{diag}(c_1,c_2,\cdots,c_n)$。
3. $R=(r_1,r_2,\cdots,r_n)'$,其中$r_i>0$,且同有$r_i\in\mathbb{Z}$，且$\gcd{(r_1,\cdots,r_n)}=1$。
4. $MR=0$

一个简单的例子是Extended Dynkin Diagram赋予如下数字：

其中黑色数字代表了向量$R$赋予的值，而红色的数字则是对角阵$M$赋予的值，通过计算很容易可以验证$MR=0$如下

有了算术图的定义，我们可以定义它的不变量，即Picard群。这个群来源于代数几何的想法。

定义4 （Picard群）整数群$\mathbb{Z}$模去$M$的像$\mathbb{Z}^n/\mathrm{Im}(M)$称为算术图的Picard群,记为$\mathrm{Pic}(G)$。同时我们定义degree map为$\deg:\mathbb{Z}^n/\mathrm{Im}(M)\to \mathbb{Z}$,使得$(s_1,s_2,\cdots,s_n)\mapsto\sum_{i=1}^n r_i s_i$,其中$r_i$即为算术图中$R$的元素。

有了这一定义，我们就可以得到有限阿贝尔群$\Phi_M=\ker(\deg)$。可以证明，如果$\diag(\delta_1,\delta_2,\cdots,\delta_{n-1},0)$为Smith标准型，就有\[\Phi_M\cong \mathbb{Z}/\delta_1\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/\delta_2\mathbb{Z}\times\cdots\times \mathbb{Z}/\delta_{n-1}\mathbb{Z}.\]

注记：由此可以看出$\Phi_M$是循环群当且仅当$\mathrm{SNF}=\diag(1,\cdots,1,\delta_{n-1},0)$。

于是特别地，考虑$M$为$G$的Laplacian，如果$G$的生成树的个数无平方因子，自然就有$\Phi_M$是循环群。而$\Phi_M$是循环群的$G$占了很大比例。以下是两个结论：

1. Chen-Ye(2008) 给定图$G$,存在同构的图$G'$,由$G$的细分（至多$m-n$条边）给出，且$\Phi_{M'}$是循环群。
2. Wood(2014) 对于$n$点的Erdos-Renyi随机图，当$n\to\infty$时，

   (a) $|\Phi_M|$无平方因子的概率约为$48.2\%$

   (b)$\Phi_M$是循环群的概率约为$79.3\%$

3.算术图的不变量

(1)第一贝蒂数：$\beta(G)=m-n+1$,相当于图中不相关的“圈”的个数，就是将所有的边个数减去生成树的长度即为不相关圈的个数。

(2)亏格： $g_0(G,M,R)$，定义为\[2g_0(G)-2=\sum_{i=1}^n r_i(d_i-2).\]注意到这样一个亏格和我们通常所说的图的亏格（可嵌入多少亏格的曲面使得边不相交）不一样。因为$K_{3,3}$和$K_5$都有图亏格$1$，但是简单计算就可发现$g_0(K_{3,3})=4$，$g_0(K_5)=6$。

简单计算可以发现，\[2g_0(G)-2\beta(G)=\sum_{i=1}^n(r_i-1)(d_i-1).\]故而有如下定理。图的亏格的几何意义可见下定理链接中的引文[7]与[8]。

定理5(Lorenzini,1989)

• $g_0(G)$为整数
• $g_0(G)\ge \beta(G)\ge 0$

(3)$g$-数： $g$-数的定义如下。我们知道$\deg:\Pic(G)=\Z^n/\img(M)\to \Z$将$\Phi_M$映射至$0$,那么$g$-数是最小的整数，满足

1. 对于任意$\deg[D]\ge g$的代表元$[D]\in\Pic(G)$,存在$V\in \img(M)$使得$D+V$在第一卦限（也即$D+V$的各个坐标都大于$0$）
2. 存在$\deg[D]=g-1$使得$\forall V\in\img(M)$,都有$D+V$不可能在第一卦限。

这样的$g$存在吗？存在性已经被证明，而以下的标志性的定理找出了一般图的解：

定理6(Baker & Norine, 2006)

若$G$为一般的图，且$R=(1,1\cdots,1)'$,那么$g=\beta(G)$。

而这一定理同样也关乎图的黎曼-罗赫结构。两人首次提出了图上的黎曼-罗赫结构，而Lorenzini则进一步提出了如下定理：

定理7（Lorenzini,2011）如果$g(G)=g_0(G)$,那么图上就有黎曼-罗赫结构。

黎曼-罗赫结构将在下一节提到。这节最后再给出一些对不变量关系的估计。

定理8 令$(G,M,R)$为算术树（也即算术图中的$G$为树），那么

• $|\Phi_M|=\prod_{i=1}^n r_i^{d_i-2} \in \mathbb{N}$
• $|\Phi_M|\le 4^{g_0(G)}$
• 若$p$为整除$|\Phi_G|$的素数，那么$p\le 2g_0(G)+1$

通过第二个等式，且我们知道$g\le g_0$，那么是否有$|\Phi_M|\le 4^g$呢？现在还不得而知。对于$\Phi_G$这个群生成元的估计。在普通的图$G$中，$\Phi_G$可以被$\beta(G)$个元素生成。而对于一般的算术图的结果如下：

定理9 令$(G,M,R)$为无重边的算术图，且假定对于某个$i$有$r_i=1$。那么\[\mathrm{SNF}(M)=\diag(\delta_1,\cdots,\delta_{n-1-\beta},\delta_{n-\beta},\cdots,\delta_{n-1},0)\]其中$\Delta_{n-1-\beta}=\delta_1\cdots\delta_{n-1-\beta}$有$\Delta_{n-1-\beta}|\prod_{i=1}^n r_i^{d_i-2}$

4.图上的黎曼-罗赫定理与双变量Zeta函数(Two-variable zeta function)

 动机是来自于代数几何的黎曼罗赫定理。$X$是$\mathbb{C}$上的射影曲线（即$\mathbb{C}P^2$中齐次函数$F(x,y,z)$的解）。$f$是定义在射影曲线上的亚纯函数，且有有限个零点与极点。那么定义$f$的$\di$为 \[\di(f)=\sum_{P\in X}m(P) P\],其中$m(P)$为重数。在$m(P)>0$为零点，$m(P)<0$为极点。而一个重要的结论是，零点与极点的个数相同！也即$\sum_P m(P)=0$。

而类似地，我们可以定义“除子”(Divisor)$D$为$D=\sum_P a_P P$,是为关于$P$的形式和，其中$a_P\in\Z$且为有限和。定义度函数\[\deg(D)=\sum_P a_P.\]从定义可以看出$\deg\circ \di=0$。同时对于任意的除子$D$,我们可以赋予它另外一个整数$h^0(D)$,定义为\[h^0(D)=\dim_{\mathbb{C}} H^0(X,\mathcal{O}_D),\mathcal{O}_D=\{f|f\mbox{只在}a_P\not=0\mbox{的地方有极点，且}m(P)\ge-a_P\}\]是为$\mathcal{O}_D$层的上同调群的维数。

对于这样的结构，定义$[D]$为$D$的等价类，即为$\{D'|\exists f,D'=D+\di(f)\}$。那么就有经典的黎曼-罗赫定理(Riemann-Roch)如下

定理10(黎曼-罗赫)存在典范类(Canonical class)$[K]$使得对于任意$D$都有\[h^0(D)=\deg(D)+1-g+h^0(K-D)\]

而在代数几何中，$[D]$的类构成了维数$g$的代数簇上的所有点，称为Picard簇$\Pic(X)$。而$[D]$满足$\deg(D)=0$的子类被称为曲线$X$的Jacobian。

对应的图论中来，注意到前面我们其实已经提到了和代数几何这些结果相仿的定义，比如Picard群，$\Phi_M$等等。前面一直没有说明的$\Phi_M$有了它的名字，称为雅可比簇(Jacobian Variety)，它的阶记为$G$的生成树的个数。而典范类$[K]$定义为$[(d_1-2,\cdots,d_n-2)]$。

Baker与Norine首次给出了图上的黎曼-罗赫定理。他们赋予每个除子$D$(或者说Picard群的元素)的$h^0(D)$，且证明了图上的黎曼-罗赫定理\[h^0(D)=\deg(D)+1-\beta(G)+h^0(K-D)\]对于$h^0(D)$的定义将在之后提到。

如果我们有了$h^0:\Pic(G)\to \Z$,那么我们就可以定义一个zeta函数\[Z_h(G,u,t)=\sum_{[D]\in\Pic(G)}\frac{u^{h^0(D)}-1}{u-1}t^{\deg(D)}.\]而一个稍微变化的定义是\[W_h(G,x,y)=\sum_{[D]\in\Pic(G)}x^{h^0(G)}y^{h^0(K-D)}.\]这个zeta函数的定理动机来自与有限域上的曲线上的zeta函数：令$p$为素数$\Z/p\Z=\mathbb{F}_p\le \mathbb{F}_{p^s}$。令$X/\mathbb{F}_p$为光滑射影曲线（比如$\mathbb{P}^2$上的齐次$F(x,y,z)=0$），那么令$a_s$为在系数为$\mathbb{F}_{p^s}$中时，曲线方程解的个数。那么有限域中与黎曼zeta相对应的zeta函数为：\[Z(X/\mathbb{F}_p,T)=\exp\left(\sum_{s=1}^\infty a_s\frac{T^s}s \right)=\sum_{[D]\in\Pic(X)}\frac{p^{h(D)}-1}{p-1}T^{\deg(D)}\]与我们这里的zeta函数类似。这样的zeta函数同样又给出了图的一个不变量。

最后给出$h^0(D)$的定义以及一些性质（等价意思是相差一个$\img(M)$的元素）：

定义11（$h^0(D)$）定义$E\in \Z^n$是“有效的”当$E\ge 0$,也就是$E$的每个坐标都大于等于$0$。如果$\deg(D)<0$，则令$h^0(D)=0$。如果$\deg(D)\ge 0$,定义$h^0(D)$为\[h^0(D)=\min\{\deg(E)|E\ge 0\mbox{且}D-E\mbox{不等价于一个有效的元素}\}\]

注意到这儿的定义其实类似前面我们所说的$g-$数。不过$g-$数相当于一个全局的不变量。于是我们有如下的性质：

1. $h^0(D)\ge 0$这个通过定义显然
2. 若$D$不等价与一个有效的元素，那么$h^0(D)=0$,由于定义中集合包含了$E=0$。
3. $h^0(D)\le \deg(D)+1$,更进一步，只可能在如下图的区域内有点

   

   我曾经问在$\deg(D)$不变的时候是否能够变量区域中竖线交的所有点，不过还没有开始计算。

4. 若$\deg(D)\ge 2\beta(G)-1$,那么$h^0(D)=\deg(D)+1-\beta(G)$

对于不变量zeta函数，我们同样也有一些比较好的性质，定理的证明都可以在[3]中找到。

定理12 

1. 有理性，\[Z_h(G,u,t)=\frac{f(u,t)}{(1-t)(1-ut)},\]其中$f(u,t)\in\Z[u,t]$,有形式\[f(u,t)=1+c_1(u)t+c_2(u)t^2+\cdots+c_g(u)t^g+uc_{g-1}(u)t^{g+1}+u^2 c_{g-2}(u)t^{g+2}+u^g t^{2g}.\]
2. $f(u,t)$在$\mathbb{C}[u,t]$中不可约。
3. $f(1,u)=\#G\mbox{的生成树}$。
4. \[Z\left(u,\frac{1}{ut}\right)=(ut^2)^{1-g}Z(u,t)\]
5. 若$G$为树，则$Z(G,u,t)=\frac{1}{(1-t)(1-ut)}$

最后值得注意的一点是，zeta函数，Tutte多项式，Smith标准型，特征值这些不变量似乎是相互无关的！可见Julian Clancy、Timothy Leake与Sam Payne最近的文章。

PS：对于计算$h^0$,Baker博客给出过一个链接，可供参考

拓展阅读(定理的证明大多来自这几篇)：

[1]"Arithmetical Graph" by Dino Lorenzini,1989

[2]"Riemann-Roch Theorem and Abel-Jacobi theory on a finite graph" by Matthew Baker, Serguei Norine,2006

[3]"Two variable Zeta-functions on graphs and Riemann-Roch Theorems"by Dino Lorenzini,2011