[NowCoder]牛客网NOIP赛前集训营-提高组（第六场）题解

A.最长路

题意：给定有向图，每条边有个字符$[0,10^9]$,求每个点最长路字典序最小的方案.$N,M\le 10^6$

建反图跑拓扑排序，显然入过队的点都有最长路，考虑如何判断字典序大小，一种方案是把每个点转移过来的路径字符串哈希一下，然后用倍增比较两个字符串的大小复杂度$O（N+Mlog_2M）$

第二种方案是每次对最长路相同的点以入边上的字符为第一关键字，起点的排名（之前已经排过了）为第二关键字排序，这样可以保证字典序小的先更新

代码是第一种方法

#include<bits/stdc++.h>

#define REP(i,a,b) for(int i(a);i<=(b);++i)

#define dbg(x) cout<<#x<<" = "<<(x)<<endl

typedef long long ll;

typedef unsigned int uint;

typedef unsigned long long ull;

using namespace std;

inline int read(){

    int f=1,x=0;char ch;

    do{ch=getchar();if(ch=='-')f=-1;}while(ch<'0'||ch>'9');

    do{x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9');

    return f*x;

}

inline char smin(int&x,const int&y){return x>y?x=y,1:0;}

inline char smax(int&x,const int&y){return x<y?x=y,1:0;}

const int BUFSIZE=1e6;

char inbuf[BUFSIZE],outbuf[BUFSIZE],*si=inbuf,*ti=inbuf,*so=outbuf,*to=outbuf+BUFSIZE;

struct FastIO{

    ~FastIO(){fwrite(outbuf,1,so-outbuf,stdout);}

    #define gc()  (si==ti&&(ti=inbuf+fread(si=inbuf,1,BUFSIZE,stdin),si==ti)?EOF:*si++)

    #define pc(c) (so==to?fwrite(outbuf,1,BUFSIZE,stdout),so=outbuf,*so++=c:*so++=c)

    template<typename T>inline T&rd(T&w){char c,p=0;

        while(isspace(c=gc()));if(c=='-')p=1,c=gc();

        for(w=c&15;isdigit(c=gc());w=w*10+(c&15));

        if(p)w=-w;return w;}

    inline int read(){int x;return rd(x);}

    template<typename T>inline void print(T w){static char s[20];int top=0;

        if(w<0)pc('-'),w=-w;if(w==0)pc('0');

        for(top=0;w;w/=10)s[++top]=w%10;

        while(top)pc(s[top--]|'0');}

    inline void putstr(const string&u){int l=u.length();REP(i,0,l-1)pc(u[i]);}

}io;

#define read io.read

const int N=1e6+5,p=998244353;

int n,m,head[N],tot,L;

struct node{int v,w,nxt;}e[N];

inline void add(int x,int y,int z){e[++tot]=(node){y,z,head[x]};head[x]=tot;}

int q[N],ind[N],f[N],ans[N],fa[23][N];

ull g[23][N],cf[N];

const ull base=1000000007ull;

inline bool cmp(int x,int y){

	for(int i=L;~i;--i)if(g[i][x]==g[i][y])x=fa[i][x],y=fa[i][y];

	return g[0][x]<g[0][y];

}

void toposort(){

	int l=1,r=0,x;

	REP(i,1,n)if(!ind[i])q[++r]=i,f[i]=0;

	while(l<=r){

		for(int i=head[x=q[l++]];i;i=e[i].nxt){

			int&y=e[i].v;

			if((smax(f[y],f[x]+1)||f[y]==f[x]+1&&(g[0][y]>e[i].w||g[0][y]==e[i].w&&cmp(x,fa[0][y])))){

				ans[y]=(ans[x]+e[i].w)*29ll%p;

				fa[0][y]=x;g[0][y]=e[i].w;

				REP(i,1,L)fa[i][y]=fa[i-1][fa[i-1][y]],g[i][y]=g[i-1][y]*cf[1<<i-1]+g[i-1][fa[i-1][y]];

			}

			if(!--ind[y])q[++r]=y;

		}

	}

}

int main(){

	n=read(),m=read();L=__lg(m);

	REP(i,1,m){int x=read(),y=read(),z=read();add(y,x,z);++ind[x];}

	cf[0]=1;REP(i,1,m)cf[i]=cf[i-1]*base;toposort();

	REP(i,1,n){

		if(ind[i]<=0)io.print(ans[i]),pc('\n');

		else io.putstr("Infinity\n");

	}

	return 0;

}

B.选择题

题意：有一道选择题有四个选项现在有 $n$个人来做这题，第 $i$个人有 $p_{i,j}$ 的概率选第 $j$ 个选项。定义 $cnt(x)$ 为选第 $x$ 个选项的人数。令 $mx$ 为 $cnt(x)$ 最大的 $x$ (如果有多个$cnt(x)$最大的 $x$，则取其中 $x$ 最小的)，若 $cnt(mx) \le \lfloor \frac{n}{2} \rfloor$ ，则所有人得 0 分；否则令 $choice_i$ 表示第 $i$ 个人选的选项，则第 i 人得 $w_{mx,choice_i}$ 分。求每个人的期望得分。

$n\le 2000$

考虑枚举这个最多的是哪个选项，然后只要对每个 $i$ 算出他选每个选项的概率即可

设 $f[i][j]$ 表示前 $i$ 个人，选了 $j$ 个 $mx$ 的概率，那么有

\[f[i][j]=f[i-1][j-1]*p[i][mx]+f[i-1][j]*(1-p[i][mx])
\]

设 $g[i][j]$ 表示$i \dots n$ ，选了 $j$ 个 $mx$ 的概率，转移同理

这样对 $g$ 做个后缀和就可以算了

复杂度 $O(16n^2)$

#include<bits/stdc++.h>

#define REP(i,a,b) for(int i(a);i<=(b);++i)

#define dbg(x) cout<<#x<<" = "<<(x)<<endl;

typedef long long ll;

typedef unsigned int uint;

typedef unsigned long long ull;

using namespace std;

inline int read(){

    int f=1,x=0;char ch;

    do{ch=getchar();if(ch=='-')f=-1;}while(ch<'0'||ch>'9');

    do{x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9');

    return f*x;

}

inline char smin(int&x,const int&y){return x>y?x=y,1:0;}

inline char smax(int&x,const int&y){return x<y?x=y,1:0;}

struct FastIO{

    static const int S=1310720;

    int wpos;char wbuf[S];

    FastIO():wpos(0) {}

    inline int xchar(){

        static char buf[S];

        static int len=0,pos=0;

        if(pos==len)pos=0,len=fread(buf,1,S,stdin);

        if(pos==len)return -1;

        return buf[pos++];

    }

    inline int read(){

        int c=xchar(),x=0;

        while(c<=32&&~c)c=xchar();

        if(c==-1)return -1;

        for(;'0'<=c&&c<='9';c=xchar())x=x*10+c-'0';

        return x;

    }

}io;

#define read io.read

const int N=2005,p=998244353;

int n,a[4][N],f[N][N],g[N][N],w[4][N],ans[N];

inline void inc(int&x,int y){x+=y;if(x>=p)x-=p;}

int main(){

    n=read();

    REP(i,1,n)REP(j,0,3)a[j][i]=read();

    REP(i,0,3)REP(j,0,3)w[i][j]=read();

    int m=n/2+1;

    REP(k,0,3){

        memset(f,0,sizeof f);memset(g,0,sizeof g);

        f[0][0]=g[n+1][0]=1;

        REP(i,1,n)REP(j,0,i)

        f[i][j]=((j?1ll*a[k][i]*f[i-1][j-1]%p:0)+1ll*(1-a[k][i]+p)*f[i-1][j])%p;

        for(int i=n;i;--i)for(int j=n-i+1;~j;--j)

        g[i][j]=((j?1ll*a[k][i]*g[i+1][j-1]%p:0)+1ll*(1-a[k][i]+p)*g[i+1][j])%p;

        REP(i,1,n)for(int j=n-i+1;~j;--j)inc(g[i][j],g[i][j+1]);

        REP(i,1,n)REP(j,0,i-1)if(f[i-1][j]){

            REP(t,0,3)if(t==k)ans[i]=(ans[i]+1ll*f[i-1][j]*g[i+1][max(0,m-1-j)]%p*a[k][i]%p*w[k][k])%p;

            else ans[i]=(ans[i]+1ll*f[i-1][j]*g[i+1][max(0,m-j)]%p*a[t][i]%p*w[k][t])%p;

        }

    }

    REP(i,1,n)printf("%d\n",ans[i]);

    return 0;

}

C.树

题意：给一棵树，有边权，实现4种操作：

1.链查询权值和

2.链修改父亲边的权值

3.链修改儿子边的权值

4.换根查询子树和

数据结构题，按照题意写即可。先树剖，然后线段树里维护一下对父亲的修改，对儿子的修改，和父亲边的权值和，跳轻重链时，轻边上判一下父亲和儿子谁先改即可。

复杂度 $O(nlog^2n)$

#include<bits/stdc++.h>

#define REP(i,a,b) for(int i(a);i<=(b);++i)

#define dbg(x) cout<<#x<<" = "<<(x)<<endl;

typedef long long ll;

typedef unsigned int uint;

typedef unsigned long long ull;

using namespace std;

inline int read(){

    int f=1,x=0;char ch;

    do{ch=getchar();if(ch=='-')f=-1;}while(ch<'0'||ch>'9');

    do{x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9');

    return f*x;

}

inline char smin(int&x,const int&y){return x>y?x=y,1:0;}

inline char smax(int&x,const int&y){return x<y?x=y,1:0;}

struct FastIO{

    static const int S=1310720;

    char buf[S],wbuf[S],*si=buf,*ti=buf,*so=wbuf,*to=wbuf+S;

    ~FastIO(){fwrite(wbuf,1,so-wbuf,stdout);}

	#define gc (si==ti&&(ti=buf+fread(si=buf,1,S,stdin),si==ti)?EOF:*si++)

	template<typename T>inline void read(T&w){register char c,p=0;

		while(isspace(c=gc));if(c=='-')p=1,c=gc;

		for(w=c&15;isdigit(c=gc);w=w*10+(c&15));if(p)w=-w;

	}

	inline int read(){register int x;return read(x),x;}

	#define pc(c) (so==to?fwrite(wbuf,1,S,stdout),so=wbuf,*so++=c:*so++=c)

	template<typename T>inline void print(T w,char c='\n'){

		static char s[25];int top=0;

        if(w<0)pc('-'),w=-w;if(w==0)pc('0');

        for(top=0;w;w/=10)s[++top]=w%10;

        while(top)pc(s[top--]|'0');pc(c);

	}

	#undef gc

}io;

#define read io.read

const int N=1e5+5;

int n,m,head[N],v[N<<1],nxt[N<<1],tot;

inline void add(int x,int y){v[++tot]=y,nxt[tot]=head[x];head[x]=tot;}

int top[N],in[N],siz[N],fa[N],dep[N],son[N],cnt;

#define y v[i]

inline void go1(int x){

	siz[x]=1;

	for(int i=head[x];i;i=nxt[i])if(y!=fa[x])

	fa[y]=x,dep[y]=dep[x]+1,go1(y),siz[x]+=siz[y],siz[y]>siz[son[x]]&&(son[x]=y);

}

inline void go2(int x,int anc){

	in[x]=++cnt;top[x]=anc;

	if(!son[x])return;go2(son[x],anc);

	for(int i=head[x];i;i=nxt[i])if(y!=fa[x]&&y!=son[x])go2(y,y);

}

#undef y

#define ls o<<1

#define rs o<<1|1

#define all 1,1,n

struct data{int t,w;};

struct tree{int sum[3],len;data tag,son;}t[N<<2];

int T,opt;

inline void pushup(int o){REP(i,0,2)t[o].sum[i]=t[ls].sum[i]+t[rs].sum[i];}

inline void build(int o,int l,int r){

	t[o].sum[0]=t[o].len=r-l+1;

	t[o].tag=t[o].son=(data){-1,-1};

	if(l==r){t[o].tag=(data){0,0};return;}

	int mid=l+r>>1;build(ls,l,mid),build(rs,mid+1,r);

}

inline void change(int o,const data&x,bool f){

	if(f){

		REP(i,0,2)t[o].sum[i]=i==x.w?t[o].len:0;t[o].tag=x;

	}else t[o].son=x;

}

#define pushdown()\

	if(~t[o].tag.t)change(ls,t[o].tag,1),change(rs,t[o].tag,1),t[o].tag=(data){-1,-1};\

	if(~t[o].son.t)change(ls,t[o].son,0),change(rs,t[o].son,0),t[o].son=(data){-1,-1};

inline void update(int o,int l,int r,int x,int y,const data&z){

	if(x>y)return;if(x<=l&&r<=y)return change(o,z,opt);

	int mid=l+r>>1;pushdown();

	if(x<=mid)update(ls,l,mid,x,y,z);if(y>mid)update(rs,mid+1,r,x,y,z);

	pushup(o);

}

inline int ask(int o,int l,int r,int x,int y,int z){

	if(x<=l&&r<=y)return t[o].sum[z];

	if(x>r||y<l||x>y)return 0;

	int mid=l+r>>1;pushdown();

	return ask(ls,l,mid,x,y,z)+ask(rs,mid+1,r,x,y,z);

}

inline data&ask(int o,int l,int r,int x,int z){

	if(l==r)return z?t[o].tag:t[o].son;

	int mid=l+r>>1;pushdown();

	return x<=mid?ask(ls,l,mid,x,z):ask(rs,mid+1,r,x,z);

}

data t1,t2;

inline int ask(int x,int y,int z){

	int ans=0;

	while(top[x]!=top[y]){

		if(dep[top[x]]<dep[top[y]])swap(x,y);

		ans+=ask(all,in[top[x]]+1,in[x],z);

		t1=ask(all,in[top[x]],1);t2=ask(all,in[fa[top[x]]],0);

		if(t1.t>=t2.t)ans+=t1.w==z;else ans+=t2.w==z;

		x=fa[top[x]];

	}

	if(x==y)return ans;

	if(dep[x]>dep[y])swap(x,y);

	return ans+ask(all,in[x]+1,in[y],z);

}

inline void update(int x,int y,int c1,int c2){

	++T;t1=(data){T,c1},t2=(data){T,c2};

	while(top[x]!=top[y]){

		if(dep[top[x]]<dep[top[y]])swap(x,y);

		opt=0,update(all,in[top[x]],in[x],t2);

		opt=1,update(all,in[top[x]],in[x],t1);

		if(son[x])update(all,in[x]+1,in[x]+1,t2);

		x=fa[top[x]];

	}

	if(dep[x]>dep[y])swap(x,y);

	opt=0,update(all,in[x],in[y],t2);

	opt=1,update(all,in[x]+1,in[y],t1);

	update(all,in[x],in[x],t2);

	if(son[y])update(all,in[y]+1,in[y]+1,t2);

}

inline int jump(int x,int y){while(top[x]!=top[y])if(fa[top[x]]==y)return top[x];else x=fa[top[x]];return son[y];}

int main(){

	n=read();

	REP(i,2,n){int x=read(),y=read();add(x,y),add(y,x);}

	go1(1),go2(1,1),build(1,1,n);

	m=read();

	while(m--){

		int op=read(),x=read(),y=read(),z=read();

		if(op==1)io.print(ask(x,y,z));

		else if(op==2)update(x,y,z,read());

		else{

			opt=1;t1=(data){++T,z};

			if(x==y)update(all,1,n,t1);else

			if(in[x]>in[y]&&in[x]<in[y]+siz[y]){

				int p=jump(x,y);

				update(all,1,in[p]-1,t1),update(all,in[p]+siz[p],n,t1);

			}else update(all,in[y]+1,in[y]+siz[y]-1,t1);

		}

	}

	return 0;

}