用scikit-learn和pandas学习Ridge回归

　　　　本文将用一个例子来讲述怎么用scikit-learn和pandas来学习Ridge回归。

1. Ridge回归的损失函数

　　　　在我的另外一遍讲线性回归的文章中，对Ridge回归做了一些介绍，以及什么时候适合用 Ridge回归。如果对什么是Ridge回归还完全不清楚的建议阅读我这篇文章。

　　　　线性回归原理小结

　　　　Ridge回归的损失函数表达形式是：　　　　

　　　　\(J(\mathbf\theta) = \frac{1}{2}(\mathbf{X\theta} - \mathbf{Y})^T(\mathbf{X\theta} - \mathbf{Y}) + \frac{1}{2}\alpha||\theta||_2^2\)

　　　　其中\(\alpha\)为常数系数，需要进行调优。\(||\theta||_2\)为L2范数。

　　　　算法需要解决的就是在找到一个合适的超参数\(\alpha\)情况下，求出使\(J(\mathbf\theta)\)最小的\(\theta\)。一般可以用梯度下降法和最小二乘法来解决这个问题。scikit-learn用的是最小二乘法。

2. 数据获取与预处理

　　　　这里我们仍然用UCI大学公开的机器学习数据来跑Ridge回归。

　　　　数据的介绍在这： http://archive.ics.uci.edu/ml/datasets/Combined+Cycle+Power+Plant

　　　　数据的下载地址在这： http://archive.ics.uci.edu/ml/machine-learning-databases/00294/

　　　　完整的代码见我的github: https://github.com/ljpzzz/machinelearning/blob/master/classic-machine-learning/ridge_regression_1.ipynb

　　　　里面是一个循环发电场的数据，共有9568个样本数据，每个数据有5列，分别是:AT（温度）, V（压力）, AP（湿度）, RH（压强）, PE（输出电力)。我们不用纠结于每项具体的意思。

　　　　我们的问题是得到一个线性的关系，对应PE是样本输出，而AT/V/AP/RH这4个是样本特征， 机器学习的目的就是通过调节超参数\(\alpha\)得到一个线性回归模型，即:

　　　　\(PE = \theta_0 + \theta_1*AT + \theta_2*V + \theta_3*AP + \theta_4*RH\)

　　　　使损失函数\(J(\mathbf\theta)\)最小。而需要学习的，就是\(\theta_0, \theta_1, \theta_2, \theta_3, \theta_4\)这5个参数。

　　　　下载后的数据可以发现是一个压缩文件，解压后可以看到里面有一个xlsx文件，我们先用excel把它打开，接着“另存为“”csv格式，保存下来，后面我们就用这个csv来运行Ridge回归。

　　　　这组数据并不一定适合用Ridge回归模型，实际上这组数据是高度线性的，使用正则化的Ridge回归仅仅只是为了讲解方便。

3. 数据读取与训练集测试集划分

　　　　我们先打开ipython notebook,新建一个notebook。当然也可以直接在python的交互式命令行里面输入，不过还是推荐用notebook。下面的例子和输出我都是在notebook里面跑的。

　　　　先把要导入的库声明了：

import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
import numpy as np
import pandas as pd
from sklearn import datasets, linear_model

　　　　接着用pandas读取数据：

# read_csv里面的参数是csv在你电脑上的路径，此处csv文件放在notebook运行目录下面的CCPP目录里
data = pd.read_csv('.\CCPP\ccpp.csv')

　　　　我们用AT， V，AP和RH这4个列作为样本特征。用PE作为样本输出：

X = data[['AT', 'V', 'AP', 'RH']]
y = data[['PE']]

　　　　接着把数据集划分为训练集和测试集：

from sklearn.cross_validation import train_test_split
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, random_state=1)

　　　　

4. 用scikit-learn运行Ridge回归

　　　　要运行Ridge回归，我们必须要指定超参数\(\alpha\)。你也许会问：“我也不知道超参数是多少啊？” 我也不知道，那么我们随机指定一个(比如1)，后面我们会讲到用交叉验证从多个输入超参数\(\alpha\)中快速选择最优超参数的办法。

from sklearn.linear_model import Ridge
ridge = Ridge(alpha=1)
ridge.fit(X_train, y_train)

　　　　训练完了，可以看看模型参数是多少:

print ridge.coef_
print ridge.intercept_

　　　　输出结果如下：

[[-1.97373209 -0.2323016   0.06935852 -0.15806479]]
[ 447.05552892]

　　　　也就是说我们得到的模型是：

\(PE = 447.05552892 - 1.97373209*AT - 0.2323016*V + 0.06935852*AP - 0.15806479*RH\)

　　　　但是这样还没有完？为什么呢，因为我们假设了超参数\(\alpha\)为1， 实际上我们并不知道超参数\(\alpha\)取多少最好，实际研究是需要在多组自选的\(\alpha\)中选择一个最优的。

　　　　那么我们是不是要把上面这段程序在N种\(\alpha\)的值情况下，跑N遍，然后再比较结果的优劣程度呢？ 可以这么做，但是scikit-learn提供了另外一个交叉验证选择最优\(\alpha\)的API，下面我们就用这个API来选择\(\alpha\)。

5. 用scikit-learn选择Ridge回归超参数\(\alpha\)

　　　　这里我们假设我们想在这10个\(\alpha\)值中选择一个最优的值。代码如下：

from sklearn.linear_model import RidgeCV
ridgecv = RidgeCV(alphas=[0.01, 0.1, 0.5, 1, 3, 5, 7, 10, 20, 100])
ridgecv.fit(X_train, y_train)
ridgecv.alpha_  

　　　　输出结果为：7.0，说明在我们给定的这组超参数中， 7是最优的\(\alpha\)值。

6. 用scikit-learn研究超参数\(\alpha\)和回归系数\(\theta\)的关系

　　　　通过Ridge回归的损失函数表达式可以看到，\(\alpha\)越大，那么正则项惩罚的就越厉害，得到回归系数\(\theta\)就越小，最终趋近与0。而如果\(\alpha\)越小，即正则化项越小，那么回归系数\(\theta\)就越来越接近于普通的线性回归系数。

　　　　这里我们用scikit-learn来研究这种Ridge回归的变化，例子参考了scikit-learn的官网例子。我们单独启动一个notebook或者python shell来运行这个例子。

　　　　完整的代码见我的github: https://github.com/ljpzzz/machinelearning/blob/master/classic-machine-learning/ridge_regression.ipynb

　　　　首先还是加载类库：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn import linear_model
%matplotlib inline

　　　　接着我们自己生成一个10x10的矩阵X，表示一组有10个样本，每个样本有10个特征的数据。生成一个10x1的向量y代表样本输出。

# X is a 10x10 matrix
X = 1. / (np.arange(1, 11) + np.arange(0, 10)[:, np.newaxis])
# y is a 10 x 1 vector
y = np.ones(10)

　　　　这样我们的数据有了，接着就是准备超参数\(\alpha\)了。我们准备了200个超参数，来分别跑 Ridge回归。准备这么多的目的是为了后面画图看\(\alpha\)和\(\theta\)的关系

n_alphas = 200
# alphas count is 200, 都在10的-10次方和10的-2次方之间
alphas = np.logspace(-10, -2, n_alphas)

　　　　有了这200个超参数\(\alpha\)，我们做200次循环，分别求出各个超参数对应的\(\theta\)(10个维度)，存起来后面画图用。

clf = linear_model.Ridge(fit_intercept=False)
coefs = []
# 循环200次
for a in alphas:
    #设置本次循环的超参数
    clf.set_params(alpha=a)
    #针对每个alpha做ridge回归
    clf.fit(X, y)
    # 把每一个超参数alpha对应的theta存下来
    coefs.append(clf.coef_)

　　　　好了，有了200个超参数\(\alpha\)，以及对应的\(\theta\)，我们可以画图了。我们的图是以\(\alpha\)为x轴，\(\theta\)的10个维度为y轴画的。代码如下：

ax = plt.gca()

ax.plot(alphas, coefs)
#将alpha的值取对数便于画图
ax.set_xscale('log')
#翻转x轴的大小方向，让alpha从大到小显示
ax.set_xlim(ax.get_xlim()[::-1])
plt.xlabel('alpha')
plt.ylabel('weights')
plt.title('Ridge coefficients as a function of the regularization')
plt.axis('tight')
plt.show()

　　　　最后得到的图如下：

　　

　　　从图上也可以看出，当\(\alpha\)比较大，接近于\(10^{-2}\)的时候，\(\theta\)的10个维度都趋于0。而当\(\alpha\)比较小，接近于\(10^{-10}\)的时候，\(\theta\)的10个维度都趋于线性回归的回归系数。

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