[问题2014S04] 解答

[问题2014S04] 解答  由于 \(A\) 可对角化, 可设 \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\in\mathbb{C}^n\) 是 \(A\) 的 \(n\) 个线性无关的特征向量, 即有\[A\alpha_i=\lambda_i\alpha_i,\,i=1,2,\cdots,n,\] 其中 \(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\) 是 \(A\) 的 \(n\) 个特征值.

构造 \(2n\) 维列向量如下: \[\beta_i=\begin{bmatrix}\alpha_i \\ \alpha_i \end{bmatrix},\,\beta_{n+i}=\begin{bmatrix}\alpha_i \\ -\alpha_i \end{bmatrix},\,i=1,2,\cdots,n. \] 容易验证 \(\beta_1,\cdots,\beta_n,\beta_{n+1},\cdots,\beta_{2n}\in\mathbb{C}^{2n}\) 是 \(2n\) 个线性无关的列向量.

注意到如下事实: \[B\beta_i=\begin{bmatrix} A & f(A) \\ f(A) & A \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\alpha_i \\ \alpha_i \end{bmatrix}=(\lambda_i+f(\lambda_i))\begin{bmatrix}\alpha_i \\ \alpha_i \end{bmatrix}=(\lambda_i+f(\lambda_i))\beta_i,\] \[B\beta_{n+i}=\begin{bmatrix} A & f(A) \\ f(A) & A \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\alpha_i \\ -\alpha_i \end{bmatrix}=(\lambda_i-f(\lambda_i))\begin{bmatrix}\alpha_i \\ -\alpha_i \end{bmatrix}=(\lambda_i-f(\lambda_i))\beta_{n+i},\] 即 \(\beta_1,\cdots,\beta_n,\beta_{n+1},\cdots,\beta_{2n}\) 是 \(B\) 的 \(2n\) 个线性无关的特征向量, 因此 \(B\) 可对角化.  \(\Box\)