最短路——Floyd算法

Folyd算法求最短路

介绍：

Folyd算法是用来求带权图中每两点之间的最短路的动态规划算法，（它每次求得的值都可以在后面使用）。该算法名称以创始人之一、1978年图灵奖获得者、斯坦福大学计算机科学系教授罗伯特·弗洛伊德命名。

算法思想：

要从节点i走到j总的来说只有两种办法，一种是直接从i到j，不途径任何节点；另一种是经过若干个中间节点k到达j。有时候走“直路”的距离不一定会比走“弯路”的距离要短，所以，我们要做的就是要检查在i，j之间插入其他节点能否让他们之间的路径变短。

算法描述：

1. 对结点数为n的图，初始化S为表示图中每两点距离的矩阵,令k=1;
2. 依次检查S中的每两个结点u，v之间的距离dis(u,v)，在插入了k之后会不会变短。若变短，则更新他们之间的距离，即令dis(u,v)=dis(u,k)+dis(k,v);
3. k+1，重复2,3步骤，直到k=n。

特点：

这个算法写起来很简单，和Dijkstra算法比起来，它能很方便的求出图中每两点之间的距离，但是由于它需要使用三个循环来遍历各种插入的情况，所以在结点数比较多的时候会比较耗时。

C++实现：

#include<iostream>
using namespace std;
#define MAX 100
#define INF 100000
int G[MAX][MAX];
int main() {
	int n, m;   //n是结点数，不超过100，m是边数
	int u, v,w;     //[u,v]结点，w是权重
	cin >> n >> m;
	for (int i = 0; i < m; i++) {
		for (int j = 0; j < m; j++) {
			G[i][j] = INF;
			if (i == j) {
				G[i][j] = 0;
			}
		}
	}
	for (int i = 0; i < m; i++) {
		cin >> u >> v>> w;
		G[u - 1][v - 1] = w;
	}
	for (int k = 0; k < n; k++){
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			for (int j = 0; j < n; j++) {
				if (G[i][k]+G[k][j]<G[i][j]) {
					G[i][j] = G[i][k] + G[k][j];
				}
			}
		}
    }
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		for (int j = 0; j < n; j++) {
			if (G[i][j] != INF&&i!=j) {
				cout << i+1 << "->" << j+1 << "  " << G[i][j] << endl;
			}
		}
	}
	system("pause");
}