数学中有各式各样富含诗意的曲线,螺旋线就是其中比较特别的一类。螺旋线这个名词来源于希腊文,它的原意是“旋卷”或“缠卷”。例如,平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线。在2000多年以前,古希腊数学家阿基米德就对螺旋线进行了研究。著名数学家笛卡尔于1683年首先描述了对数螺旋线,并且列出了螺旋线的解析式。

1.阿基米德螺线

阿基米德螺线亦称“等速螺线”。当一点P沿动射线OP以等速率运动的同时,该射线又以等角速度绕点O旋转,点P的轨迹称为“阿基米德螺线”。

将动点P的轨迹动态出现出来,编写如下的HTML代码。

<!DOCTYPE>

<html>

<head>

<title>阿基米德螺线</title>

</head>

<body>

<canvas id="myCanvas" width="400" height="300" style="border:3px double #996633;">

</canvas>

<script>

var canvas = document.getElementById('myCanvas');

var ctx = canvas.getContext('2d');

var i=0;

var j=0.1;

ctx.clearRect(0,0,400,300);

function motion()

{

i=i+j;

r=15*i;

ang=12;

ctx.beginPath();

ctx.moveTo(200,150);

var x=200+r*Math.sin(i);

var y=150+r*Math.cos(i);

ctx.font="40px Georgia";

ctx.textAlign='center';

ctx.fillStyle='red';

ctx.fillText('.',x,y);

ctx.lineTo(x,y);

ctx.strokeStyle='rgba(0,255,0,0.6)';

ctx.stroke();

if (i<0)

{

j=0.1;

ctx.clearRect(0,0,400,300);

}

if (i>ang)

{

j=-0.1;

ctx.clearRect(0,0,400,300);

}

}

setInterval('motion()',100);

</script>

</body>

</html>

在浏览器中打开包含这段HTML代码的html文件,可以在浏览器窗口中看到阿基米德螺线的动态绘制过程,如图1所示。

图1  阿基米德螺线

2.更多的螺线

双曲螺线也是一种典型的螺旋线,它是阿基米德螺线的倒数。

因为阿基米德螺线的极坐标方程为: r=cθ  (其中c为常数)

而的双曲螺线的极坐标方程为:    rθ = c   (其中c为常数)

因此,将上面程序中的语句

r=15*i;

ang=12;

改写为:r=200/i;

ang=24;

就可以在画布中看到如图2所示的双曲螺线的动态绘制过程。

图2  双曲螺线

还有其他的螺旋线,如费马螺线、连锁螺线、对数螺线等,均可以如同双曲螺线一样,适当修改语句“r=15*i;”和“ang=12;”即可。

为此,编写如下的HTML代码。

<!DOCTYPE>

<html>

<head>

<title>螺旋线动画</title>

</head>

<body>

<canvas id="myCanvas" width="400" height="300" style="float:left;border:3px double #996633;">

</canvas>

<form><br/>

<input id="R1" name="spiral" type="radio" checked onclick="go()" />阿基米德螺线<br/><br/>

<input id="R2" name="spiral" type="radio" onclick="go()" />双曲螺线<br/><br/>

<input id="R3" name="spiral" type="radio" onclick="go()" />费马螺线<br/><br/>

<input id="R4" name="spiral" type="radio" onclick="go()" />对数螺线<br/><br/>

<input id="R5" name="spiral" type="radio" onclick="go()" />双纽线<br/><br/>

<input id="R6" name="spiral" type="radio" onclick="go()"/>连锁螺线<br/><br/>

</form>

<script>

var canvas = document.getElementById('myCanvas');

var ctx = canvas.getContext('2d');

var i=0;

var j=0.05;

function motion()

{

i=i+j;

if(document.getElementById('R1').checked)

{  r=15*i;   ang=12;  }

if(document.getElementById('R2').checked)

{  r=200/i;  ang=18;  }

if(document.getElementById('R3').checked)

{  r=20*Math.pow(i,0.5);  ang=36;  }

if(document.getElementById('R4').checked)

{  r=Math.pow(1.2,i);  ang=30;   }

if(document.getElementById('R5').checked)

{  r=Math.pow(10000*Math.cos(2*i),0.5);  ang=32;  }

if(document.getElementById('R6').checked)

{  r=Math.pow(10000/i,0.5);  ang=32;    }

ctx.beginPath();

ctx.moveTo(200,150);

var x=200+r*Math.sin(i);

var y=150+r*Math.cos(i);

ctx.font="40px Georgia";

ctx.textAlign='center';

ctx.fillStyle='red';

ctx.fillText('.',x,y);

ctx.lineTo(x,y);

ctx.strokeStyle='rgba(0,255,0,0.6)';

ctx.stroke();

if (i<0)

{

j=0.05;

ctx.clearRect(0,0,400,300);

}

if (i>ang)

{

j=-0.05;

ctx.clearRect(0,0,400,300);

}

}

function go()

{

ctx.clearRect(0,0,400,300);

i=0;

j=0.05;

setInterval('motion()',70);

}

go();

</script>

</body>

</html>

在浏览器中打开包含这段HTML代码的html文件,可以在浏览器窗口中看到6种螺旋线的动画效果,如图3所示。

图3  螺旋线动画

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