BZOJ 2699: 更新 （DP）

题目

对于一个数列A[1…N]，一种寻找最大值的方法是：依次枚举A[2]到A[N]，如果A[i]比当前的A[1]值要大，那么就令A[1]=A[i]，最后A[1]为所求最大值。假设所有数都在范围[1, K]内，按上面的步骤执行，有多少个长度N的数列满足A[1]被更新的次数恰好为P呢？

N,P<=150，K<=300

题解

感觉数据组数有点多，其实可以直接预处理出所有答案。

定义f[i][j][k]f[i][j][k]f[i][j][k]表示长度为iii，用≤j\le j≤j的数，形成的被更新kkk次的数列方案数。

这里把第一个数出现也看作更新了一次。

分类转移：

• jjj第一次出现，方案为：f[i−1][j−1][k−1]f[i-1][j-1][k-1]f[i−1][j−1][k−1]
• 放1→j1\to j1→j中任意值，方案为：j⋅(f[i−1][j][k]−f[i−1][j−1][k])j\cdot(f[i-1][j][k]-f[i-1][j-1][k])j⋅(f[i−1][j][k]−f[i−1][j−1][k])，这里前缀和相减，是需要之前的最大值恰好为jjj，这样才能不重不漏。
• 再加上没有用到最大值jjj的方案：f[i][j−1][k]f[i][j-1][k]f[i][j−1][k]，也就是做个前缀和。

CODE

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
char cb[1<<18],*cs,*ct;
#define getc() (cs==ct&&(ct=(cs=cb)+fread(cb,1,1<<18,stdin),cs==ct)?0:*cs++)
inline void rd(int &x) {
	x = 0; char ch; while(!isdigit(ch=getc()));
	do x=x*10+ch-'0'; while(isdigit(ch=getc()));
}
const int mod = 1e9 + 7;
const int MAXN = 150;
const int MAXM = 300;
int n, k, p, f[MAXN+5][MAXM+5][MAXN+5];
int main () {
	for(int i = 0; i <= MAXM; ++i) f[0][i][0] = 1;
	for(int i = 1; i <= MAXN; ++i)
		for(int j = 1; j <= MAXM; ++j)
			for(int k = 1; k <= MAXN; ++k)
				f[i][j][k] = (f[i-1][j-1][k-1] + 1ll*j*(f[i-1][j][k]-f[i-1][j-1][k]+mod)%mod + f[i][j-1][k]) % mod;
	int T; rd(T); while(T--) rd(n), rd(k), rd(p), printf("%d\n", f[n][k][p+1]);
}