题意:求∑gcd(i,n),1<=i<=n
思路:
f(n)=∑gcd(i,n),1<=i<=n
可以知道,其实f(n)=sum(p*φ(n/p)),其中p是n的因子。
为什么呢?原因如下:
1到n中有m个数字和n拥有公共的最大因子p,那么就需要把m*p加入答案中。问题是如何计算m的个数。
因为假设某个数i与n的最大公约数为p,那么gcd(i,n) = p,可以得到gcd(i/p,n/p)=1。也就是说,有多少个i,就有多少个i/p与n/p互质。
那么显然m即为n/p的欧拉函数φ(n/p)。

知道了上述之后,其实我们就可以枚举n的因子p(1<=p<=n),若p|n,那么答案加上p*φ(n/p)。

不过《数论及应用》p182上面的解法还利用了积性函数。
积性函数是指一个定义域为正整数n 的算术函数f(n),有如下性质:f(1) = 1,且当a 和b 互质时,f(ab) = f(a) f(b)。
若一个函数f(n) 有如下性质:f(1) = 1,且对两个随意正整数a 和b 而言,不只限这两数互质时,
f(ab) = f(a)f(b) 都成立,则称此函数为完全积性函数。

具体解法可以参见该网址:
http://scturtle.is-programmer.com/posts/19388.html

关于f(N)=∑gcd(i, N)是积性函数的证明参加下面网址:
http://hi.baidu.com/bfcdygoporbjuxr/item/f119741c5fcd9c48e75e06e0

可以推出:f(p^r)=r*(p^r-p^(r-1))+p^r (可以根据φ(p^i)=p^i-p^(i-1)推出)
然后的做法就是将n分解素因子f(n)=f(a1^k1)*f(a2^k2)*...*f(am^km),利用上述公式求解即可。

我的代码就是参照《数论及应用》p182的解法的。

  1. #include <iostream>
  2. #include <stdio.h>
  3. #include <string.h>
  4. #include <math.h>
  5. #include <algorithm>
  6. #include <vector>
  7.  
  8. using namespace std;
  9. const int maxn=;
  10. long long N;
  11. bool isprime[maxn];
  12. int prime[maxn];
  13. int cnt=;
  14. void init(){
  15. memset(isprime,true,sizeof(isprime));
  16. for(int i=;i<maxn;i++){
  17. if(isprime[i]){
  18. prime[cnt++]=i;
  19. for(int j=*i;j<maxn;j+=i)
  20. isprime[j]=false;
  21. }
  22. }
  23. }
  24. int main()
  25. {
  26. init();
  27. while(scanf("%lld",&N)!=EOF){
  28. long long ans=;
  29. int r;
  30. for(int i=;i<cnt;i++){
  31. if(N%prime[i]==){
  32. long long ret=;
  33. r=;
  34. while(N%prime[i]==){
  35. N=N/prime[i];
  36. ret*=prime[i];
  37. r++;
  38. }
  39. ans*=r*(ret-ret/prime[i])+ret;
  40. }
  41. }
  42. if(N>){
  43. ans*=N-+N;
  44. }
  45. printf("%I64d\n",ans);
  46. }
  47. return ;
  48. }

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