Code（容斥，好题）

Code

Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/65536 K (Java/Others) Total Submission(s): 597    Accepted Submission(s): 230

Problem Description

WLD likes playing with codes.One day he is writing a function.Howerver,his computer breaks down because the function is too powerful.He is very sad.Can you help him?
The function:
int calc {      int res=0;      for(int i=1;i<=n;i++)          for(int j=1;j<=n;j++)          {              res+=gcd(a[i],a[j])*(gcd(a[i],a[j])-1);              res%=10007;          }      return res;
}

 

Input

There are Multiple Cases.(At MOST 10)
For each case:
The first line contains an integer N(1≤N≤10000).
The next line contains N integers a1,a2,...,aN(1≤ai≤10000).

 

Output

For each case:
Print an integer,denoting what the function returns.

 

Sample Input

5
1 3 4 2 4

 

Sample Output

64

Hint

gcd(x,y) means the greatest common divisor of x and y.

题意：就是给你一系列数，让找两个数最大公约数x,求所有x（x-1）的和；其实就是一个容斥，对于每给的一个数，找里面因子出现的次数；

现在我们的任务就是给你一个x为gcd，找以x为gcd出现的次数，最多有count[x]^2次，需要减去多考虑的也就是 2x, 3x, 4x...出现的次数；

f[i]代表以i为gcd出现的次数；

/**********/

首先的思路是，考虑每个数对最终答案的贡献。

那么我们就要求出：对于每个数，以它为 gcd 的数对有多少对。

显然，对于一个数 x ，以它为 gcd 的两个数一定都是 x 的倍数。如果 x 的倍数在数列中有 k 个，那么最多有 k^2 对数的 gcd 是 x 。

同样显然的是，对于两个数，如果他们都是 x 的倍数，那么他们的 gcd 一定也是 x 的倍数。

所以，我们求出 x 的倍数在数列中有 k 个，然后就有 k^2 对数满足两个数都是 x 的倍数，这 k^2 对数的 gcd，要么是 x ，要么是 2x, 3x, 4x...

并且，一个数是 x 的倍数的倍数，它就一定是 x 的倍数。所以以 x 的倍数为 gcd 的数对，一定都包含在这 k^2 对数中。

如果我们从大到小枚举 x ，这样计算 x 的贡献时，x 的多倍数就已经计算完了。我们用 f(x) 表示以 x 为 gcd 的数对个数。

那么 f(x) = k^2 - f(2x) - f(3x) - f(4x) ... f(tx)             (tx <= 10000, k = Cnt[x])

这样枚举每个 x ，然后枚举每个 x 的倍数，复杂度是用调和级数计算的，约为 O(n logn)。

/*********/

代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
const int INF=0x3f3f3f3f;
#define mem(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
typedef long long LL;
const int MAXN=10010;
const int MOD=10007;
int cnt[MAXN],f[MAXN];
int main(){
	int N;
	while(~scanf("%d",&N)){
		int x;
		mem(cnt,0);mem(f,0);
		for(int j=0;j<N;j++){
			scanf("%d",&x);
			for(int i=1;i<=(int)sqrt(x);i++){
				if(x%i==0){
					cnt[i]++;
					if(x/i!=i)cnt[x/i]++;
				}
			}
		}
		int ans=0,temp=0;
		for(int i=10000;i>=1;i--){
			f[i]=cnt[i]*cnt[i]%MOD;
			for(int j=i*2;j<=10000;j+=i)
			f[i]=(f[i]-f[j]+MOD)%MOD;
			temp=i*(i-1)%MOD;
			ans=(ans+f[i]*temp%MOD+MOD)%MOD;
		}
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}