【泛化物品】【HDU1712】【ACboy needs your help】
ACboy needs your help
Time Limit: 1000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 4491 Accepted Submission(s): 2403
Next follow a matrix A[i][j], (1<=i<=N<=100,1<=j<=M<=100).A[i][j] indicates if ACboy spend j days on ith course he will get profit of value A[i][j].
N = 0 and M = 0 ends the input.
2 2
1 2
1 3
2 2
2 1
2 1
2 3
3 2 1
3 2 1
0 0
3
4
6
背包九讲中已经很好的介绍了这种问题:
复杂度(n*m*m)
泛化物品
定义
考虑这样一种物品,它并没有固定的费用和价值,而是它的价值随着你分配给它的费用而变化。这就是泛化物品的概念。
更严格的定义之。在背包容量为V的背包问题中,泛化物品是一个定义域为0..V中的整数的函数h,当分配给它的费用为v时,能得到的价值就是h(v)。
这个定义有一点点抽象,另一种理解是一个泛化物品就是一个数组h[0..V],给它费用v,可得到价值h[V]。
一个费用为c价值为w的物品,如果它是01背包中的物品,那么把它看成泛化物品,它就是除了h(c)=w其它函数值都为0的一个函数。如果它是完全背包中的物品,那么它可以看成这样一个函数,仅当v被c整除时有h(v)=v/c*w,其它函数值均为0。如果它是多重背包中重复次数最多为n的物品,那么它对应的泛化物品的函数有h(v)=v/c*w仅当v被c整除且v/c<=n,其它情况函数值均为0。
一个物品组可以看作一个泛化物品h。对于一个0..V中的v,若物品组中不存在费用为v的的物品,则h(v)=0,否则h(v)为所有费用为v的物品的最大价值。P07中每个主件及其附件集合等价于一个物品组,自然也可看作一个泛化物品。
泛化物品的和
如果面对两个泛化物品h和l,要用给定的费用从这两个泛化物品中得到最大的价值,怎么求呢?事实上,对于一个给定的费用v,只需枚举将这个费用如何分配给两个泛化物品就可以了。同样的,对于0..V的每一个整数v,可以求得费用v分配到h和l中的最大价值f(v)。也即f(v)=max{h(k)
+l(v-k)|0<=k<=v}。可以看到,f也是一个由泛化物品h和l决定的定义域为0..V的函数,也就是说,f是一个由泛化物品h和 l决定的泛化物品。
由此可以定义泛化物品的和:h、l都是泛化物品,若泛化物品f满足f(v)=max{h(k)+l(v-k)|0<=k<=v},则称f是h与l的和,即f=h+l。这个运算的时间复杂度是O(V^2)。
泛化物品的定义表明:在一个背包问题中,若将两个泛化物品代以它们的和,不影响问题的答案。事实上,对于其中的物品都是泛化物品的背包问题,求它的答案的过程也就是求所有这些泛化物品之和的过程。设此和为s,则答案就是s[0..V]中的最大值。
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <ctime>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <sstream>
#include <string>
#define oo 0x13131313
using namespace std;
int n,m;
int A[101][101];
void input()
{
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++)
scanf("%d",&A[i][j]);
}
void init()
{
freopen("a.in","r",stdin);
freopen("a.out","w",stdout);
}
void ADD(int *ans,int *a,int *b)
{
for(int i=0;i<=m;i++)
{
ans[i]=0;
for(int j=0;j<=i;j++)
{
ans[i]=max(ans[i],a[j]+b[i-j]);
}
}
}
void solve()
{
int ans=0;
if(n>=2)
{
ADD(A[0],A[1],A[2]);
for(int i=3;i<=n;i++)
ADD(A[i-2],A[i-3],A[i]);
for(int i=1;i<=m;i++)
ans=max(ans,A[n-2][i]);
printf("%d\n",ans);
}
else
{
for(int i=1;i<=m;i++)
ans=max(ans,A[1][i]);
printf("%d\n",ans);
}
}
int main()
{
// init();
while(cin>>n>>m&&(n||m))
{
input();
solve();
}
}
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