洛谷 P4248: bzoj 3238: [AHOI2013]差异

题目传送门：洛谷 P4248。

题意简述：

定义两个字符串 \(S\) 和 \(T\) 的差异 \(\operatorname{diff}(S,T)\) 为这两个串的长度之和减去两倍的这两个串的最长公共前缀的长度。

给定一个字符串，定义从第 \(i\) 个字符开始的后缀为 \(Suf_i\)。

求 \(\sum_{1\le i<j\le n}\operatorname{diff}(Suf_i,Suf_j)\)。

题解：

化简式子，原式等于

\[\begin{align*}&\left(\sum_{1\le i<j\le n}i+j\right)-2\times\sum_{1\le i<j\le n}\operatorname{lcp}(Suf_i,Suf_j)\\=& \frac{n(n-1)(n+1)}{2}-2\times\sum_{1\le i<j\le n}\operatorname{lcp}(Suf_i,Suf_j)\end{align*}\]

所以只要求出后半部分即可。

建立字符串的后缀数组。

考虑 Height 数组的贡献：Height 数组中 [2, n] 内的每一个区间都给答案贡献区间最小值。

套路：每个区间的区间最小值之和，使用单调栈解决。

 #include <cstdio>
 #include <cstring>

 typedef long long LL;
 const int MN = ;

 int N;
 char str[MN];

 int M;
 int rk[MN], rk2[MN], SA[MN], SA2[MN];
 int buk[MN], cnt;
 int Height[MN];

 void GetHeight() {
     int k = ;
     for (int i = ; i <= N; ++i) {
         if (rk[i] == ) { k = Height[] = ; continue; }
         if (k) --k;
         int j = SA[rk[i] - ];
         while (i + k <= N && j + k <= N && str[i + k] == str[j + k]) ++k;
         Height[rk[i]] = k;
     }
 }

 void Rsort() {
     for (int i = ; i <= M; ++i) buk[i] = ;
     for (int i = ; i <= N; ++i) ++buk[rk[i]];
     for (int i = ; i <= M; ++i) buk[i] += buk[i - ];
     for (int i = N; i >= ; --i) SA[buk[rk[SA2[i]]]--] = SA2[i];
 }

 void GetSA() {
     M = ;
     for (int i = ; i <= N; ++i) rk[i] = str[i] - 'a' + , SA2[i] = i;
     Rsort();
     for (int j = ; j < N; j <<= ) {
         int P = ;
         for (int i = N - j + ; i <= N; ++i) SA2[++P] = i;
         for (int i = ; i <= N; ++i) if (SA[i] > j) SA2[++P] = SA[i] - j;
         Rsort();
         rk2[SA[]] = P = ;
         for (int i = ; i <= N; ++i) {
             if (rk[SA[i]] != rk[SA[i - ]] || rk[SA[i] + j] != rk[SA[i - ] + j]) ++P;
             rk2[SA[i]] = P;
         }
         for (int i = ; i <= N; ++i) rk[i] = rk2[i];
         M = P;
         if (M == N) break;
     }
     GetHeight();
 }

 int st[MN], t;
 int L[MN], R[MN];

 int main() {
     scanf("%s", str + );
     N = strlen(str + );
     GetSA();
     st[t = ] = ;
     for (int i = ; i <= N; ++i) {
         while (t && Height[st[t]] > Height[i]) R[st[t--]] = i;
         L[i] = st[t];
         st[++t] = i;
     } while (t) R[st[t--]] = N + ;
     LL Ans = (LL)(N - ) * N * (N + ) / ;
     for (int i = ; i <= N; ++i)
         Ans -= 2ll * (R[i] - i) * (i - L[i]) * Height[i];
     printf("%lld\n", Ans);
     return ;
 }