[Luogu5162]WD与积木(多项式求逆)

不要以为用上Stirling数就一定离正解更近，FFT都是从DP式本身出发的。

设f[i]为i个积木的所有方案的层数总和，g[i]为i个积木的方案数，则答案为$\frac{f[i]}{g[i]}$

转移枚举第一层是哪些积木：$$f_n=g_n+\sum_{i=1}^{n}\binom{n}{i}f_{n-i},f_0=0$$$$g_n=\sum_{i=1}^{n}\binom{n}{i}g_{n-i},g_0=1$$

转化成卷积形式：$$\frac{f_n}{n!}=\frac{g_n}{n!}+\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i!}\times \frac{f_{n-i}}{i!}$$$$\frac{g_n}{n!}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i!}\times \frac{g_{n-i}}{(n-i)!}$$

构造生成函数：$F(x)=\sum\frac{f_i}{i!}x^i$,$G(x)=\sum\frac{g_i}{i!}x^i$,$H(x)=\sum\frac{x^i}{i!}$。

则根据上式有：$F(x)=G(x)+F(x)(H(x)-1)-1$,$G(x)=G(x)(H(x)-1)+1$。

移项得：$F(x)=\frac{G(x)-1}{2-H(x)}=G(x)(G(x)-1)$,$G(x)=\frac{1}{2-H(x)}$。

多项式求逆即可。

 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #define rep(i,l,r) for (int i=(l); i<=(r); i++)
 using namespace std;

 const int N=,mod=;
 int n,m,T,fac[N],h[N],g[N],f[N],inv[N],rev[N],tmp[N];

 int ksm(int a,int b){
     int res=;
     for (; b; a=1ll*a*a%mod,b>>=)
         if (b & ) res=1ll*res*a%mod;
     return res;
 }

 void DFT(int a[],int n,bool f){
     for (int i=; i<n; i++) if (i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
     for (int i=; i<n; i<<=){
         int wn=ksm(,f ? (mod-)/(i<<) : (mod-)-(mod-)/(i<<));
         for (int p=i<<,j=; j<n; j+=p){
             int w=;
             for (int k=; k<i; k++,w=1ll*w*wn%mod){
                 int x=a[j+k],y=1ll*w*a[i+j+k]%mod;
                 a[j+k]=(x+y)%mod; a[i+j+k]=(x-y+mod)%mod;
             }
         }
     }
     if (f) return;
     int inv=ksm(n,mod-);
     for (int i=; i<n; i++) a[i]=1ll*a[i]*inv%mod;
 }

 void Inv(int a[],int b[],int l){
     if (l==){ b[]=ksm(a[],mod-); return; }
     Inv(a,b,l>>); int n=,L=;
     for (; n<=l; n<<=) L++;
     for (int i=; i<n; i++) rev[i]=(rev[i>>]>>)|((i&)<<(L-));
     for (int i=; i<l; i++) tmp[i]=a[i],tmp[i+l]=;
     DFT(tmp,n,); DFT(b,n,);
     for (int i=; i<n; i++) tmp[i]=1ll*b[i]*(-1ll*tmp[i]*b[i]%mod+mod)%mod;
     DFT(tmp,n,);
     for (int i=; i<l; i++) b[i]=tmp[i],b[i+l]=;
 }

 int main(){
     n=;
     fac[]=; rep(i,,n) fac[i]=1ll*fac[i-]*i%mod;
     inv[n]=ksm(fac[n],mod-);
     for (int i=n-; ~i; i--) inv[i]=1ll*inv[i+]*(i+)%mod;
     rep(i,,n) h[i]=mod-inv[i]; h[]=;
     for (m=; m<=n; m<<=); Inv(h,g,m);
     for (int i=; i<m; i++) f[i]=g[i];
     f[]=(g[]-+mod)%mod; m<<=;
     DFT(f,m,); DFT(g,m,);
     for (int i=; i<m; i++) f[i]=1ll*f[i]*g[i]%mod;
     DFT(f,m,); DFT(g,m,);
     for (scanf("%d",&T); T--; ) scanf("%d",&n),printf("%lld\n",1ll*f[n]*ksm(g[n],mod-)%mod);
     return ;
 }