Description

  

​   现在 Yopilla 和 yww 要开始玩游戏!

  

  ​ 他们在一条直线上标记了 \(n\) 个点,从左往右依次标号为 \(1, 2, ..., n\) 。然后在每个点上放置一些棋子,其中第 \(i\) 个点放置了 \(a_i\) 个棋子。接下来,从 Yopilla 开始操作,双方轮流操作,谁不能操作谁输。每次的操作是:当前操作方选定一个有棋子的点 \(x\) ,然后选择至少一个点 \(x\) 上的棋子,然后把这些棋子全都移动到点 \(x / prime\) 上,其中 \(prime\) 是一个质数,且 \(prime \mid x\)

  

  ​ Yopilla 最初一次操作的策略是随机的:随机找到一个有棋子的点 \(x\) ,随机选择正整数个棋子 \(y\) ,随机转移到一个能转移到的点 \(z\) 。所有棋子可以看作是一样的,换句话说:两种操作不同,当且仅当三元组 \((x, y, z)\) 不同。之后双方都按照最优策略来操作。

  

​   Yopilla 想要预测,他能够获胜的概率是多少,答案对 \(998244353\) 取模。

  

​  

  

  

  

Solution

  

​   我们发现,对于每一个数,如果以其幂指数之和为下标来将它们重新排列成一个数组,这个问题就变成了阶梯\(Nim\)问题。一次操作,相当于将一个数移动到其左边。不能移动者输。

  

​   事实上我们不需要实现这个重排操作。我们只需要知道每个数重排后是否在奇位置即可。

  

​   记输入数列为\(a\),我们统计出所有处于奇位置的数\(x\)的\(a_x\)的异或和\(sum\)。

  

​   我们要统计Yopilla一开始的随机操作一共有多少种可能、以及总共有多少种可能,使得操作后局面的先手必败。前者很好计算,就是\(\sum_x a_x*b_x\),其中\(b_x\)表示\(x\)这个数的不同质因子个数。

  

​   后者如何计算呢?对操作分类:(1)移动奇位置的数至偶位置、(2)移动偶位置的数至奇位置。

  

​   我们枚举所有奇位置的数。假设对该位置\(i\)操作后,总异或和\(sum\)等于0,即操作后先手必败,则\(a_i\)应该由\(a_i\)变成\(target=sum\; \text{xor}\; a_i\),

  

  如果原值比目标值大,那么显然(1)容易满足,选出\(a_i-target\)个数,并将它们通过任意一个质因子移动到偶位置,一共有\(b_i\)种合法情况。

  

  如果原值与目标值相等,则什么也做不了,一改就不满足要求,不作为合法情况考虑。

  

  若原值小于目标值,则考虑(2),枚举所有能转移到\(i\)的偶位置\(j=i*p\)(其中\(p\)是枚举的质数),如果\(a_j \ge target-a_i\),那么合法情况就多了一种,因为\(j\)可以选\(target-a_i\)个数通过唯一一种方式——除去\(p\)——来到达\(i\)。

  

​   那么概率也就很好计算了。

  

  

  

Code

  

#include <cstdio>
using namespace std;
const int N=1000005,MOD=998244353;
int n,a[N];
bool vis[N];
int p[N],pcnt,b[N],c[N];
void sieve(){
int up=1e6;
for(int i=2;i<=up;i++){
if(!vis[i]){
p[++pcnt]=i;
b[i]=c[i]=1;
}
for(int j=1;j<=pcnt&&i*p[j]<=up;j++){
int x=i*p[j];
vis[x]=true;
c[x]=c[i]^1;
if(i%p[j]==0){
b[x]=b[i];
break;
}
b[x]=b[i]+1;
}
}
}
void readData(){
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",a+i);
}
inline int fmi(int x,int y){
int res=1;
for(;y;x=1LL*x*x%MOD,y>>=1)
if(y&1) res=1LL*res*x%MOD;
return res;
}
void solve(){
int x=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
if(c[i]) x^=a[i];
int legal=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
if(c[i]){
int best=x^a[i];
if(best<a[i]) legal+=b[i];
else{
int delta=best-a[i];
if(!delta) continue;
for(int j=1;j<=pcnt&&i*p[j]<=n;j++)
if(a[i*p[j]]>=delta) legal++;
}
}
int all=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
(all+=1LL*a[i]*b[i]%MOD)%=MOD;
int ans=1LL*legal*fmi(all,MOD-2)%MOD;
printf("%d\n",ans<0?ans+MOD:ans);
}
int main(){
sieve();
readData();
solve();
return 0;
}

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