【bzoj3122】 Sdoi2013—随机数生成器

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3122 (题目链接)

题意

　　对于一个数列${X_i}$，其递推式为：${X_{i+1}=(a*X_i+n)~mod~P}$，求最小的${i}$满足${X_i=t}$。

Solution

　　大家还记得数学中数列那一章吗，那么推倒这个数列的方法一定是老师重点强调过的：

$${X_{i+1}+λ=a*(X_i+λ)}$$

$${可以算出λ=\frac{b}{a-1}}$$

$${令B_i=X_i+\frac{b}{a-1}}$$

$${则B_{i+1}=a*B_i，为等比数列}$$

$${B_i=B_1*a^{i-1}}$$

$${B_i=(X_1+\frac{b}{a-1})*a^{i-1}}$$

$${\because B_i=X_i+\frac{b}{a-1}}$$

$${\therefore X_i=(X_1+\frac{b}{a-1})*a^{i-1}-\frac{b}{a-1}}$$

$${令c=(a-1)^{-1}~(mod~p)}$$

$${则X_i=(X_1+b*c)*a^{i-1}+b*c~~(mod~p)}$$

$${即求(X_1+b*c)*a^{i-1}≡t-b*c~~(mod~p)}$$

　　因为a的取值，我们需要考虑特殊情况并进行分类讨论。

　　首先要特判${X_1=t}$的情况，因为这个在后面不好处理，不如讨论之前就直接排除在外。

　　1.${a=0}$

　　这种情况下要么是${t=X_1}$，要么是${t=X_2}$，因为${X_n=b~(n>1)}$

　　2.${a=1}$

　　那么数列就可以简化为：${X_{i+1}=X_i+b}$，是一个等差数列。

　　即求：${X_1+b*(i-1)=t~(mod~p)}$

　　这可以用exgcd求解。

　　3.${a>=2}$

　　那么就是我们上面推下来的式子，先用exgcd求出${a^{i-1}}$的最小正整数解，然后用BSGS计算${i-1}$的取值。

细节

　　数学题就是细节多，exgcd判无解。

代码

// bzoj3122
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<map>
#define LL long long
#define inf 2147483640
#define Pi acos(-1.0)
#define free(a) freopen(a".in","r",stdin),freopen(a".out","w",stdout);
using namespace std;

map<LL,LL> mp;

LL power(LL a,LL b,LL c) {
	LL res=1;
	while (b) {
		if (b&1) res=res*a%c;
		b>>=1;a=a*a%c;
	}
	return res;
}
LL BSGS(LL a,LL b,LL p) {
	LL m=ceil(sqrt(p));
	LL inv=power(a,p-1-m,p),e=1;
	mp.clear();mp[1]=0;
	for (int i=1;i<m;i++) {
		e=e*a%p;
		if (!mp.count(e)) mp[e]=i;
	}
	for (int i=0;i<m;i++) {
		if (mp.count(b)) return mp[b]+i*m+1;
		b=b*inv%p;
	}
	return -1;
}
void exgcd(LL a,LL b,LL &d,LL &x,LL &y) {
	if (b==0) {d=a;x=1;y=0;return;}
	exgcd(b,a%b,d,y,x);
	y-=a/b*x;
}
int main() {
	LL P,A,B,X1,t;
	int T;scanf("%d",&T);
	while (T--) {
		scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&P,&A,&B,&X1,&t);
		if (X1==t) {puts("1");continue;}   //一定要特判，如果进入BSGS后b为0出来的解是-1
		if (A==0) {
			if (B==t) puts("2");
			else puts("-1");
		}
		if (A==1) {
			LL x,d,y;
			t=(t-X1)%P;if (!t) {puts("1");continue;}
			exgcd(B,P,d,x,y);
			if (t%d!=0) {puts("-1");continue;}
			printf("%lld\n",((t/d)*x%(P/d)+(P/d))%(P/d)+1);
		}
		if (A>=2) {
			LL x,d,y;
			LL c=power(A-1,P-2,P);
			t=(t+B*c)%P;
			exgcd(X1+B*c,P,d,x,y);
			if (t%d!=0) {puts("-1");continue;}
			x=((t/d)*x%(P/d)+(P/d))%(P/d);
			printf("%lld\n",BSGS(A,x,P));
		}
	}
	return 0;
}