T1 洛希极限

不难发现每个点肯定是被它上一行或上一列的点转移。可以预处理出每个点上一行，上一列最远的能转移到它的点，然后单调队列优化。

预处理稍显ex。可以用并查集维护一个链表，记录当前点之后第一个没有被预处理的点的位置，这样就保证了每个点只会被更新一次。

同时正因为只被更新一次，所以行列的预处理都应先排序。

单调队列可以手写结构体，维护方案数比较方便。

$code:$


#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define int long long

namespace IO{

	typedef long long LL;

	auto read=[]()->int{

		char ch=getchar(); int x=0,f=1;

		while(ch<'0'||ch>'9'){ if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); }

		while(ch>='0'&&ch<='9'){ x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48); ch=getchar(); }

		return x*f;

	};

	auto write=[](LL x,int sp)->void{

		char ch[20]; int len=0;

		if(x<0){ x=~x+1; putchar('-'); }

		do{ ch[len++]=(1<<4)+(1<<5)+x%10; x/=10; }while(x);

		for(int i=len-1;~i;--i) putchar(ch[i]); putchar(sp);

	};

	auto ckmax=[](int& x,int y)->void{ x=x<y?y:x; };

	auto ckmin=[](int& x,int y)->void{ x=x<y?x:y; };

} using namespace IO;

const int NN=2010,mod=1e9+7;

int T,n,m,q,lft[NN][NN],dwn[NN][NN];

int f[NN][NN],g[NN][NN],nxt[NN][NN];

int mx,sm;

struct matrix{

	int r1,r2,c1,c2;

}t[500010];

struct QUEUE{

	int pos,head,tail,cnt,q[NN];

	bool type;

	void check_head(){

		if(head==tail){ cnt=0; return; }

		if(type){

			if(f[q[head]][pos]==f[q[head+1]][pos]) (cnt+=mod-g[q[head]][pos])%=mod;

			else{

				cnt=0;

				for(int i=head+1;f[q[i]][pos]==f[q[head+1]][pos]&&i<=tail;++i) (cnt+=g[q[i]][pos])%=mod;

			}

		} else{

			if(f[pos][q[head]]==f[pos][q[head+1]]) (cnt+=mod-g[pos][q[head]])%=mod;

			else{

				cnt=0;

				for(int i=head+1;f[pos][q[i]]==f[pos][q[head+1]]&&i<=tail;++i) (cnt+=g[pos][q[i]])%=mod;

			}

		}

	}

	void check_tail(int a){

		if(type) (cnt+=mod+g[q[tail]][pos]*(f[q[tail]][pos]==f[q[head]][pos])*a)%=mod;

		else (cnt+=mod+g[pos][q[tail]]*(f[pos][q[tail]]==f[pos][q[head]])*a)%=mod;

	}

	void poph(){ check_head(); ++head; }

	void popt(){ check_tail(-1); --tail; }

	void clear(){ head=1; tail=cnt=0; }

	void push(int a){ q[++tail]=a; check_tail(1); }

	bool empty(){ return head>tail; }

	int front(){ return head>tail?0:q[head]; }

	int back(){ return head>tail?0:q[tail]; }

	int sum(){ return cnt; }

}r[NN],c[NN];

int getx(int x,int y){ return nxt[x][y]==x?x:nxt[x][y]=getx(nxt[x][y],y); }

int gety(int x,int y){ return nxt[x][y]==y?y:nxt[x][y]=gety(x,nxt[x][y]); }

void init(){

	mx=sm=0;

	for(int i=1;i<=n;i++) r[i].clear();

	for(int i=1;i<=m;i++) c[i].clear();

	for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++)

		lft[i][j]=dwn[i][j]=2e9,f[i][j]=g[i][j]=0;

	sort(t+1,t+q+1,[](matrix a,matrix b)->bool{ return a.r1<b.r1; });

	for(int i=1;i<=n+1;i++) for(int j=1;j<=m+1;j++) nxt[i][j]=i;

	for(int i=1;i<=q;i++)

		for(int j=t[i].c1+1;j<=t[i].c2;j++)

			for(int k=getx(t[i].r1+1,j);k<=t[i].r2;k=getx(k+1,j))

				lft[k][j]=t[i].r1, nxt[k][j]=getx(k+1,j);

	sort(t+1,t+q+1,[](matrix a,matrix b)->bool{ return a.c1<b.c1; });

	for(int i=1;i<=n+1;i++) for(int j=1;j<=m+1;j++) nxt[i][j]=j;

	for(int i=1;i<=q;i++)

		for(int j=t[i].r1+1;j<=t[i].r2;j++)

			for(int k=gety(j,t[i].c1+1);k<=t[i].c2;k=gety(j,k+1))

				dwn[j][k]=t[i].c1, nxt[j][k]=gety(j,k+1);

//	for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++)write(lft[i][j],j==m?'\n':' '); puts("");

//	for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++)write(dwn[i][j],j==m?'\n':' ');

}

signed main(){

	freopen("roche.in","r",stdin);

	freopen("roche.out","w",stdout);

	T=read();

	for(int i=1;i<=2000;i++)

		r[i].pos=c[i].pos=i,r[i].type=0,c[i].type=1;

	while(T--){

		n=read(); m=read(); q=read();

		for(int i=1;i<=q;i++)

			t[i].r1=read(),t[i].c1=read(),t[i].r2=read(),t[i].c2=read();

		init();

		for(int i=1;i<=n;i++) f[i][1]=g[i][1]=1;

		for(int i=1;i<=m;i++) f[1][i]=g[1][i]=1;

		for(int i=2;i<=n;i++) for(int j=2;j<=m;j++){

			while(!r[i-1].empty()&&f[i-1][r[i-1].back()]<f[i-1][j-1]) r[i-1].popt();

			r[i-1].push(j-1);

			while(!r[i-1].empty()&&r[i-1].front()<dwn[i][j]) r[i-1].poph();

			f[i][j]=f[i-1][r[i-1].front()]+1; g[i][j]=max(r[i-1].sum(),1ll);

			while(!c[j-1].empty()&&f[c[j-1].back()][j-1]<f[i-2][j-1]) c[j-1].popt();

			c[j-1].push(i-2);

			while(!c[j-1].empty()&&c[j-1].front()<lft[i][j]) c[j-1].poph();

			if(f[i][j]==f[c[j-1].front()][j-1]+1) (g[i][j]+=c[j-1].sum())%=mod;

			else if(f[i][j]<f[c[j-1].front()][j-1]+1) f[i][j]=f[c[j-1].front()][j-1]+1, g[i][j]=c[j-1].sum();

		}

//		puts("");

		for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++){

			if(mx<f[i][j]) mx=f[i][j],sm=g[i][j];

			else if(mx==f[i][j]) (sm+=g[i][j])%=mod;

//			if(f[i][j]>1)cout<<i<<' '<<j<<' '<<f[i][j]<<' '<<g[i][j]<<endl;

		}

		write(mx,' '); write(sm,'\n');

	}

	return 0;

}

/*

1

10 7 4

7 6 10 7

3 1 5 2

7 5 10 5

3 4 3 6

*/

T2 特立独行的图

分析一波发现合法的图是二分图加一个可能不存在的三元环。令值域为$[-l,l]$，那么二分图的两个部分别为正数和负数，三元环由$0,l,-l$组成。

找到二分图后判断两个部中的点连接的点是否构成包含关系，如果构成则可以构造。构造就一个一个加即可。

不知道为啥T了

$code:$


#include<bits/stdc++.h>

#define nxt goto FAIL

using namespace std;

namespace IO{

	typedef long long LL;

	auto read=[]()->int{

		char ch=getchar(); int x=0,f=1;

		while(ch<'0'||ch>'9'){ if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); }

		while(ch>='0'&&ch<='9'){ x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48); ch=getchar(); }

		return x*f;

	};

	auto write=[](LL x,int sp)->void{

		char ch[20]; int len=0;

		if(x<0){ x=~x+1; putchar('-'); }

		do{ ch[len++]=(1<<4)+(1<<5)+x%10; x/=10; }while(x);

		for(int i=len-1;~i;--i) putchar(ch[i]); putchar(sp);

	};

	auto ckmax=[](int& x,int y)->void{ x=x<y?y:x; };

	auto ckmin=[](int& x,int y)->void{ x=x<y?x:y; };

} using namespace IO;

const int NN=1010,MM=1000010;

int T,n,m,idx,to[MM],nex[MM],head[NN],deg[NN],col[NN];

int cnt,tim,r[NN],ans[NN];

int zero,ob,ng,tot;

bool stop;

bitset<NN> S[NN];

void add(int a,int b){

	to[++idx]=b; nex[idx]=head[a]; head[a]=idx; ++deg[a]; S[a].set(b);

	to[++idx]=a; nex[idx]=head[b]; head[b]=idx; ++deg[b]; S[b].set(a);

}

void clear(){

	idx=stop=zero=ob=ng=tot=tim=cnt=0;

	for(int i=1;i<=n;i++) S[i].reset();

	memset(col,0,sizeof(col));

	memset(deg,0,sizeof(deg));

	memset(ans,0,sizeof(ans));

	memset(head,0,sizeof(head));

}

void dfs(int s,int c){

	if(stop) return;

	col[s]=c;

	for(int i=head[s];i;i=nex[i])

		if(!col[to[i]]) dfs(to[i],c^1);

		else if(col[to[i]]==col[s]) stop=1;

}

signed main(){

	freopen("graph.in","r",stdin);

	freopen("graph.out","w",stdout);

	T=read();

	while(T--){

		n=read(); m=read(); clear();

		for(int i=1;i<=m;i++) add(read(),read());

		for(int i=1;i<=n;i++)

			for(int j=head[i];j;j=nex[j]) if(to[j]>i)

				for(int k=head[to[j]];k;k=nex[k]) if(to[k]>to[j]&&S[i][to[k]])

					col[i]=col[to[j]]=col[to[k]]=1;

		for(int i=1;i<=n;i++) if(col[i]){

			zero=ob; ob=ng; ng=i;

			++tot;

			if(tot>3) nxt;

		}

		if(tot){

			if(deg[ob]==2) swap(zero,ob);

			if(deg[ng]==2) swap(zero,ng);

			if(deg[zero]!=2) nxt;

			col[ng]=col[ob]=0;

		}

		for(int i=1;i<=n;i++) if(!col[i]) dfs(i,2);

		if(stop) nxt;

		for(int i=1;i<=n;i++) if(col[i]==2) r[++cnt]=i;

		if(tot){

			for(int i=head[ng];i;i=nex[i])

				if(col[to[i]]==3){ swap(ng,ob); break; }

			for(int i=head[ng];i;i=nex[i])

				if(col[to[i]]==3) nxt;

			for(int i=head[ob];i;i=nex[i])

				if(col[to[i]]==2) nxt;

			if(deg[ng]!=cnt+1||deg[ob]!=n-cnt) nxt;

			ans[ng]=-1e9;

		}

		sort(r+1,r+cnt+1,[](int a,int b)->bool{ return deg[a]<deg[b]||b==ob; });

		for(int i=1;i<cnt;i++)

			if((S[r[i]]|S[r[i+1]])!=S[r[i+1]]) nxt;

		for(int i=1;i<=cnt;i++){

			for(int j=head[r[i]];j;j=nex[j])

				if(ans[to[j]]==0) ans[to[j]]=++tim-1e9;

				ans[r[i]]=++tim;

		} ans[ob]=1e9; ans[zero]=0;

		puts("Yes");

		write(2e9,' ');

		for(int i=1;i<=n;i++) write(ans[i],i==n?'\n':' ');

		continue;

		FAIL: puts("No");

	}

	return 0;

}

T3 游戏

不会数学。

T4 骆驼

不知道怎么证明，反正在$5\times5$的图中总能从任意一点出发，经过所有点后到达任意一点。同时也存在从$(1,1)$出发，不经过$(3,3)$和从$(1,1)$出发，不经过$(3,3),(5,5)$的情况。

于是将矩形分割为若干个$5\times5$的小矩形，构造方案即可。

贴个学长题解

$code:$


#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

namespace IO{

	typedef long long LL;

	auto read=[]()->int{

		char ch=getchar(); int x=0,f=1;

		while(ch<'0'||ch>'9'){ if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); }

		while(ch>='0'&&ch<='9'){ x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48); ch=getchar(); }

		return x*f;

	};

	auto write=[](LL x,int sp)->void{

		char ch[20]; int len=0;

		if(x<0){ x=~x+1; putchar('-'); }

		do{ ch[len++]=(1<<4)+(1<<5)+x%10; x/=10; }while(x);

		for(int i=len-1;~i;--i) putchar(ch[i]); putchar(sp);

	};

	auto ckmax=[](int& x,int y)->void{ x=x<y?y:x; };

	auto ckmin=[](int& x,int y)->void{ x=x<y?x:y; };

} using namespace IO;

const int NN=1010;

const int dx[9]={0,-3,0,0,3,2,2,-2,-2};

const int dy[9]={0,0,-3,3,0,2,-2,2,-2};

int n,m,t,endt,tim[6][6],ans[NN][NN];

int st[6][6],dn[6][6],up[6][6],lf[6][6],rt[6][6],ed[6][6];

bool stop;

void dfs(int x,int y,int endx,int endy,int lmtx,int lmty,int t){

	if(stop) return;

	tim[x][y]=t;

	if(t==endt){

		if(x!=endx||y!=endy) return tim[x][y]=0,void();

		return stop=1,void();

	}

	for(int i=1;i<=8;i++){

		int tx=x+dx[i],ty=y+dy[i];

		if(tx<=0||tx>5||ty<=0||ty>5||tim[tx][ty]) continue;

		if(tx==lmtx&&ty==lmty) continue;

		dfs(tx,ty,endx,endy,lmtx,lmty,t+1);

		if(stop) return;

	}

	tim[x][y]=0;

}

void DFS(int x,int y,int endx,int endy,int lmtx,int lmty,int t){

	if(stop) return;

	st[x][y]=t;

	if(t==endt){

		if(x!=endx||y!=endy) return st[x][y]=0,void();

		return stop=1,void();

	}

	for(int i=1;i<=8;i++){

		int tx=x+dx[i],ty=y+dy[i];

		if(tx<=0||tx>5||ty<=0||ty>5||st[tx][ty]) continue;

		if((tx==lmtx&&ty==lmty)||(tx==5&&ty==5)) continue;

		DFS(tx,ty,endx,endy,lmtx,lmty,t+1);

		if(stop) return;

	}

	st[x][y]=0;

}

void color_it(int x,int y,int tmp[6][6],int T){

	x=(x-1)*5; y=(y-1)*5;

	for(int i=1;i<6;i++)

		for(int j=1;j<6;j++)

			ans[x+i][y+j]=tmp[i][j]+T;

}

void init(){

	if(m==1){

		endt=25; dfs(1,1,3,3,0,0,1);

		for(int i=1;i<6;i++) for(int j=1;j<6;j++)

			write(tim[i][j],j==5?'\n':' ');

		exit(0);

	}

	memset(tim,0,sizeof(tim)); endt=24; t=stop=0; dfs(1,1,5,3,3,3,1); memcpy(st,tim,sizeof(tim));

	memset(tim,0,sizeof(tim)); endt=25; t=stop=0; dfs(3,3,5,3,0,0,1); memcpy(dn,tim,sizeof(tim));

	memset(tim,0,sizeof(tim)); endt=25; t=stop=0; dfs(3,3,1,3,0,0,1); memcpy(up,tim,sizeof(tim));

	memset(tim,0,sizeof(tim)); endt=25; t=stop=0; dfs(3,3,3,1,0,0,1); memcpy(lf,tim,sizeof(tim));

	memset(tim,0,sizeof(tim)); endt=25; t=stop=0; dfs(3,3,3,5,0,0,1); memcpy(rt,tim,sizeof(tim));

	memset(tim,0,sizeof(tim)); endt=25; t=stop=0; dfs(3,3,2,2,0,0,1); memcpy(ed,tim,sizeof(tim));

	if(m&1) memset(st,0,sizeof(st)),endt=23, t=stop=0, DFS(1,1,5,3,3,3,1);

	t=(m&1)?-2:-1; color_it(1,1,st,0); ans[3][3]=n*n;

	if(m&1) ans[5][5]=n*n-1;

}

signed main(){

	freopen("camel.in","r",stdin);

	freopen("camel.out","w",stdout);

	n=read(); m=n/5;

	init();

	for(int i=2;i<m;i++) color_it(i,1,dn,(t+=25));

	color_it(m,1,rt,(t+=25));

	for(int i=m;i>1;i--){

		for(int j=2;j<m;j++) color_it(i,j,rt,(t+=25));

		color_it(i,m,up,(t+=25)); --i;

		if((m&1)&&i==2) break;

		for(int j=m;j>2;j--) color_it(i,j,lf,(t+=25));

		color_it(i,2,(i==1&&!(m&1))?lf:up,(t+=25));

	}

	if(m&1){

		for(int i=m;i>2;i-=2){

			color_it(2,i,up,(t+=25));

			color_it(1,i,lf,(t+=25));

			if(i==3) break;

			color_it(1,i-1,dn,(t+=25));

			color_it(2,i-1,lf,(t+=25));

		}

		color_it(1,2,dn,(t+=25));

		color_it(2,2,ed,(t+=25));

	}

	for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++)

		write(ans[i][j],j==n?'\n':' ');

//	for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++)printf("%4d",ans[i][j]);puts("");}

	return 0;

}

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