BAIRE ONE FUNCTIONS (Baire第一类函数)

定义
导函数
- 一致收敛性质
的连续点

JOHNNY HU, BAIRE ONE FUNCTIONS.

一些基本的定义(诸如逐点收敛, 一致收敛\(F_{\sigma}\)集合等)就不叙述了.

定义

Definition: 令\(D\subseteq \mathbb{R}\), 函数\(f:D\rightarrow \mathbb{R}\), 若存在连续函数列\(\{f_n\}\)逐点连续收敛到\(f\), 则称为Baire第一类函数.

注: Baire第n类函数为Baire第n-1类函数的极限点.

很显然是:

连续函数必为Baire第一类函数;
仅有有限个不连续点的函数是Baire第一类函数;
Baire第一类函数不一定是连续函数;
Baire第一类函数对加法和数乘封闭;

导函数

定理1: 假设\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)是可微的, 则\(f'\)是Baire第一类函数.

\[\lim_{n \rightarrow \infty} n(f(x+\frac{1}{n})-f(x)).
\]

一致收敛性质

引理1: 如果\(f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}\)是有界的Baire第一类函数, 则存在拥有共同界的连续函数列\(\{f_n\}\)逐点收敛到\(f\).

\[f_n(x) =
\left \{
\begin{array}{ll}
-M, & \mathrm{if} \: g_n(x) < -M; \\
g_n(x),& \mathrm{if} \:-M \le g_n(x) \le M; \\
M, & \mathrm{if} g_n(x) > M.
\end{array}
\right.
\]

引理2： 令\(\{f_k\}\)为定义在\([a, b]\)上的Baire第一类函数列, \(\sum_{k=1}^{\infty} M_k\)为一收敛的正项级数. 如果\(|f_k(x)|\le M_k, i=1,2,\ldots,k, \forall x \in [a, b]\), 则函数\(f(x)=\sum_{k=1}^{\infty} f_k(x)\)属于Baire一类函数.

\[|g_{kn}-f_k|, |\sum_{k=1}^n g_{kn}-\sum_{k=1}^{\infty}f_k|.
\]

定理2: 令函数列\(\{f_n\}\)为定义在\([a,b]\)上的Baire第一类函数, 且一致收敛到\(f\), 则\(f\)同样是Baire第一类函数.

\[|f_{n_k}(x)-f(x)|\le 2^{-k} \Rightarrow |f_{n_{k+1}}-f_{n_k}| \le \frac{3}{2}2^{-k}.
\]

\[g(x):=\sum_{k=1}^{\infty} f_{n_{k+1}}-f_{n_k}.
\]

\(F_{\sigma}\)

引理5: 假设\([a, b]=\cup_{k=1}^n A_k\)且\(A_k\)为\(F_{\sigma}\)集合, 则\([a,b]=\cup_{k=1}^nB_k\), 其中\(B_k\)为\(F_{\sigma}\)集合, 且\(B_k \subseteq A_k\) 并且俩俩不交.

\[H_i:=E_i \setminus \cup_{j=1}^{i-1}E_j.
\]

引理8: 如果\(E\)为一闭集. 如果\(f:E\rightarrow \mathbb{R}\)在\(E\)上连续, 则存在一个扩张\(f_e:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)连续且\(f(x)=f_e(x), x\in E\).

引理9: 假设\([a,b]=\cup_{k=1}^n B_k\), \(B_k\)为\(F_{\sigma}\)集且俩俩不交, 定义

\[f(x):= \sum_{k=1}^n c_k \chi_{B_k}(x), \: x \in [a, b].
\]

则\(f\)为Baire第一类函数.

定理3: 函数\(f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}\)在\([a, b]\)上连续, 当且仅当集合\(\{x\in[a, b]: f(x)<r\}\)和\(\{x \in [a,b]: f(x) >r\}\)关于任意\(r \in \mathbb{R}\)为\(F_{\sigma}\)集合.

\(\Rightarrow\)显然, 反之首先用引理5, 8, 9 (并结合一致收敛性) 证明\(f\)在有界函数下成立, 再构造复合函数

\[h \circ f
\]

其中\(h\)为严格单调上升连续有界函数, 并利用事实:

\[a \circ b
\]

若\(a\)为连续函数\(b\)为Baire第一类函数, 则\(a \circ b\)亦为Baire第一类函数.

\(f\)的连续点

定义: \(A \subseteq \mathbb{R}\), 我们称

\[\omega (A):= \sup \{|f(x)-f(y)|:x,y\in A\}
\]

为\(f\)在\(A\)处的振荡(oscillation).

定义: 对于\(x_0 \in \mathbb{R}\), 令\(A_{\delta}:= (x_0-\delta, x_0 + \delta), \forall \delta > 0\), 我们称

\[\omega(x_0) = \lim_{\delta \rightarrow 0} \omega (A_{\delta})
\]

为\(f\)在点\(x_0\)出的振荡.

引理10: \(f\)在\(x_0\)出连续的充分必要条件是\(\omega(x_0)=0\).

引理11: 假设\(\{D_n\}\)为一闭集列且\([a, b]=\cup_{n=1}^{\infty}D_n\), 则至少有一个\(D_n\)包含一个闭区间.

注: 此乃Baire定理, 一个等价(或更一般)的描述为:

\(E \subseteq \mathbb{R}^n\)为\(F_{\sigma}\)集, 即\(E=\cup_{k=1}^{\infty} F_k\), 其中\(F_k\)为闭集. 若每个\(F_k\)皆无内点, 则\(E\)也无内点.

定理5: 如果\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)为Baire第一类函数, 则每个闭区间都包含\(f\)的一个连续点.