BZOJ 题目乱做

记录一点在 BZOJ 上做的题。

众所周知原 BZOJ 炸掉了，于是跑去了 HydroOJ 的 BZOJ 域上面做。

P1001 [Beijing2006]狼抓兔子

Description

一个 $n\times m$ 网格图，对于每个点 $(x,y)$，分别有一条无向边连向 $(x+1,y)$，$(x,y+1)$，$(x+1,y+1)$，删去一条无向边需要代价，求最终使得 $(1,1)$ 和 $(n,m)$ 之间不联通的最小代价。

数据范围：$3\leqslant n,m\leqslant 10^3$，每条边删去的代价不超过 $10^6$。

Solution

根据最小割的定义可知，这题就是让我们求一个无向网格图 $(1,1)$ 和 $(n,m)$ 的最小割，于是我们套路地利用最大流-最小割定理将求最小割转化为求最大流，建图跑最大流就可以了。

Code

namespace Solution {
	const int N = 1e3 + 7;
	int n, m, w, S = 1, T, cnt = 1, dep[N * N], h[N * N];
	struct edge {int v, to, nxt;}e[N * N * 6];
	ii ID(int x, int y) {return (x - 1) * m + y;}
	iv a_e(int u, int v, int w) {e[++cnt] = (edge){w, v, h[u]}; h[u] = cnt;}
	iv A_E(int u, int v, int w) {a_e(u, v, w), a_e(v, u, w);}
	ib bfs() {
		memset(dep, -1, sizeof(dep));
		queue<int> Q; dep[S] = 0, Q.push(S);
		while(!Q.empty()) {
			int x = Q.front(); Q.pop();
			for(int i = h[x]; i; i = e[i].nxt) {
				int v = e[i].to;
				if(dep[v] >= 0 || e[i].v <= 0) continue;
				dep[v] = dep[x] + 1, Q.push(v);
			}
		}
		return ~dep[T];
	}
	ii dfs(int x, int mnflow) {
		if(x == T) return mnflow;
		if(!mnflow) return 0;
		int res = 0;
		for(int i = h[x]; i; i = e[i].nxt) {
			int v = e[i].to;
			if(e[i].v <= 0 || dep[v] != dep[x] + 1) continue;
			int flow = dfs(v, min(e[i].v, mnflow));
			e[i].v -= flow, e[i ^ 1].v += flow, mnflow -= flow, res += flow;
		}
		if(!res) dep[x] = -1;
		return res;
	}
	ii Dinic() {int ans = 0; while(bfs()) ans += dfs(S, iinf); return ans;}
	iv Main() {
		read(n, m), T = n * m;
		F(int, i, 1, n) F(int, j, 1, m - 1) read(w), A_E(ID(i, j), ID(i, j + 1), w);
		F(int, i, 1, n - 1) F(int, j, 1, m) read(w), A_E(ID(i, j), ID(i + 1, j), w);
		F(int, i, 1, n - 1) F(int, j, 1, m - 1) read(w), A_E(ID(i, j), ID(i + 1, j + 1), w);
		write(Dinic());
		return;
	}
#undef int
}

P1002 [FJOI2007]轮状病毒

Description

求一个 $n$ 轮状基能够变成多少种 $n$ 轮状病毒。

轮状基和轮状病毒的定义见原题面。

数据范围：$1\leqslant n\leqslant 100$。

Solution

这里给大家介绍的是 OEIS 做法。

我们利用暴力手玩一下 $n=1,2,4$ 的情况，发现答案分别是 $1,5,45$。

然后，我们将 $1,5,16,45$ 这个数列放进 OEIS 中查找，会找到一个叫做 $\text{Alternate Lucas numbers-2}$ 的这么一个东西。接着，我们在这个条目下面翻，翻到 FORMULA 部分，发现有个很 simple 的递推公式：

\[a_n = \begin{cases}4a_{n-1} - 4a_{n-2} + a_{n-3}&n\geqslant 3\\0&n=0\\1&n=1\\5&n=2\end{cases}
\]

然后就没了，直接用这个递推公式推出结果即可。注意，答案可能很大，要用高精。下面给出的是自带高精的 Python 3 代码。

Code

n = int(input())
a = [0, 1, 5]
for i in range(3, n + 1):
	a.append(4 * a[i - 1] - 4 * a[i - 2] + a[i - 3])
print(a[n])

在线蹲一个证明方法。