hdu 2842 Chinese Rings 矩阵快速幂
分析:
后面的环能不能取下来与前面的环有关,前面的环不被后面的环所影响。所以先取最后面的环
设状态F(n)表示n个环全部取下来的最少步数
先取第n个环,就得使1~n-2个环属于被取下来的状态,第n-1个环属于未被取下来的状态。那么F(n) = F(n-2) + 1 + ... (这里的1表示取下第n个需要一步)
即F(n)可以为F(n-2) + 1与某些数的和。取下n后,1~n-2为取下的状态,n-1为未被取下的状态。如果我们想取下n-1,那么n-2要为未被取下来的状态且1~n-3为被取下的状态。
但是这里不能直接将n-2变成为未取下的状态,你想把n-2的状态改变,就得使n-3为未被取下来的状态且1~n-4为被取下的状态;你想把n-3的状态改变,就得使n-4为未被取下来的状态且1~n-5为被取下的状态.
这个一直递推下去你要使1~n-2全部属于未被取下的状态才能继续取n-1。
将1~n全部取下来有下列四步
第一步:取1~n-2,需要F(n-2)步
第二步:取第n个,需要1步
第三步:恢复1~n-2,需要F(n-2)步 (取下来的最少步数和恢复的最少步数是一样的,它们是对称的)
第四步:将1~n-1个全部取下来
所以:F(n) = F(n-1) + 2*F(n-2) + 1
矩阵快速幂套模板啦!
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std; typedef long long ll;
const int Mod = 200907;
const int N = 5;
int msize; struct Mat
{
int mat[N][N];
}; Mat operator *(Mat a, Mat b)
{
Mat c;
memset(c.mat, 0, sizeof(c.mat));
for(int k = 0; k < msize; ++k)
for(int i = 0; i < msize; ++i)
if(a.mat[i][k])
for(int j = 0; j < msize; ++j)
if(b.mat[k][j])
c.mat[i][j] = ((ll)a.mat[i][k] * b.mat[k][j] + c.mat[i][j])%Mod;
return c;
} Mat operator ^(Mat a, int k)
{
Mat c;
memset(c.mat,0,sizeof(c.mat));
for(int i = 0; i < msize; ++i)
c.mat[i][i]=1;
for(; k; k >>= 1)
{
if(k&1) c = c*a;
a = a*a;
}
return c;
} int main()
{
int n;
msize = 3;
Mat A;
A.mat[0][0] = 1, A.mat[0][1] = 2, A.mat[0][2] = 1;
A.mat[1][0] = 1, A.mat[1][1] = 0, A.mat[1][2] = 0;
A.mat[2][0] = 0, A.mat[2][1] = 0, A.mat[2][2] = 1;
while(~scanf("%d",&n) && n)
{
if(n==1)
{
puts("1");
continue;
}
Mat ans = A^(n-2);
printf("%d\n", (ans.mat[0][0]*2 + ans.mat[0][1] + ans.mat[0][2])%Mod);
}
return 0;
}
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