过河(DP)

问题描述】

　　在河上有一座独木桥，一只青蛙想沿着独木桥从河的一侧跳到另一侧。在桥上有一些石子，青蛙很讨厌踩在这些石子上。由于桥的长度和青蛙一次跳过的距离都是正整数，我们可以把独木桥上青蛙可能到达的点看成数轴上的一串整点：0，1，……，L（其中L是桥的长度）。坐标为0的点表示桥的起点，坐标为L的点表示桥的终点。青蛙从桥的起点开始，不停的向终点方向跳跃。一次跳跃的距离是S到T之间的任意正整数（包括S,T）。当青蛙跳到或跳过坐标为L的点时，就算青蛙已经跳出了独木桥。

　　题目给出独木桥的长度L，青蛙跳跃的距离范围S,T，桥上石子的位置。你的任务是确定青蛙要想过河，最少需要踩到的石子数。

【输入文件】

　　输入文件river.in的第一行有一个正整数L（1 <= L <= 10^9），表示独木桥的长度。第二行有三个正整数S，T，M，分别表示青蛙一次跳跃的最小距离，最大距离，及桥上石子的个数，其中1 <= S <= T <= 10，1 <= M <= 100。第三行有M个不同的正整数分别表示这M个石子在数轴上的位置（数据保证桥的起点和终点处没有石子）。所有相邻的整数之间用一个空格隔开。

【输出文件】

　　输出文件river.out只包括一个整数，表示青蛙过河最少需要踩到的石子数。

【样例输入】

10

2 3 5

2 3 5 6 7

【样例输出】

2

【数据规模】

　　对于30%的数据，L <= 10000；

　　对于全部的数据， L <= 10 0000 0000。

题意：河上有桥，桥上有石子，青蛙需要沿着桥跳到河的另一侧。给出桥长L、青蛙跳的范围[s , t]、石子数量m及每个石子的位置a[i]，求青蛙最少踩到的石子数。

数据规模：1≤L≤109 ，1≤s≤t≤10，1≤M≤100

策略：

①对于任一位置x , 只能由前面[x-t , x-s]这个范围的位置跳过来，因此只要先求出这些位置踩的石子数，找个最少的位置跳过来就ok。因此很容易想到动态转移方程：

f[x]=min(f[x-j])+stone[x]   ( j∈[s , t])

f[x]表示从桥头跳到x处需踩的最少石子数，stone[x]表示x处是否是石头（1表示是，0表示否）。

②桥长可达10亿，即状态数可达10亿。很显然，数组是不能开到这么大的，怎么办？由此我们想到，能否将状态数减少，又不影响结果呢？通过观察，题目中的石子数最多只有100，如果把这些石子数放到长度为10亿单位的桥上，那是多么的稀疏呀，这就为我们提供了可能。

怎么样压缩？压缩后两个石子间距离保留多长才不影响结果呢？

设第k个石子座标为x，第k-1个石子和第k个石子间距离足够大，则青蛙从两个石子间跳到第k个石子及之后的位置有：x、x+1、x+2、x+3……x+t-1。如果我们能保证，将石子k-1和石子k之间的距离缩短（即减少状态）后，青蛙依然能跳到这些位置，则可以平移。而这一点我们可以通过在两个石子间保留1个最小公倍数单位长度得到保证。

③注意特殊情况：当s=t时，只需考查石子是否是s的倍数即可。这种情况单独考查。

#include<iostream>
#include<algorithm>  //排序和求最小值要用到此文件。
using namespace std;
int L,s,t,m,ans;
int a[110];  //保存石子位置
int f[11000]={0};  //f[x]表示青蛙跳到位置i最少踏的石子数
int stone[11000]={0}; //stone[x]表示位置x是否是石子，0表示不是，1表示是
void solve()
{
    int d(0),k=s*t,x;  //d表示累加平移量，k表示s和t的公倍数
    for (int i=1;i<=m+1;i++)
    {
        x=a[i]-d-a[i-1];  //x表示第i个石子和第i-1个石子的距离
        if (x>k) d+=x-k;  //超过公倍数部分用作平移
        a[i]=a[i]-d;
        stone[a[i]]=1;  //标记平移后位置是石子
    }
    stone[a[m+1]]=0; //桥尾不是石子
    f[0]=0;
    for (int i=1;i<=a[m+1]+t-1;i++)  //考查桥上到桥尾的所有位置
    {
        f[i]=105;
        for (int j=s;j<=t;j++) //在i的前一个位置中找一个经历石子最少的
            if (i>=j) f[i]=min(f[i],f[i-j]);
        f[i]+=stone[i];  //加上当前位置石子数
    }
    ans=101;
    for (int i=a[m+1];i<=a[m+1]+t-1;i++)  //在跳过桥后所有位置中找一个最小值
        ans=min(ans,f[i]);
    cout<<ans<<endl;
}
int main()
{
    cin>>L>>s>>t>>m;
    ans=0;
    a[0]=0; a[m+1]=L;
    for (int i=1;i<=m;i++) cin>>a[i];
    sort(a+1,a+m+1);  //对桥中间石子位置排序，这上步必须要有
    if (s==t) {  //这种情况只需考查石子是否是石子的倍数即可
        for (int i=1;i<=m;i++)
            if (a[i]%s==0)
                ans++;
        cout<<ans<<endl;
    }
    else solve();
    return 0;
}

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int l,s,t,m;
int a[100+50];
int stones[10000+50];
int f[10000+50];
 
int gcd(int a,int b)
{
    if(b==0)
        return a;
    else
        return gcd(b,a%b);
}
int lcm(int a,int b)
{
    return a*b/gcd(a, b);
}
int main ()
{
    scanf("%d%d%d%d",&l,&s,&t,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    a[0]=0;a[m+1]=l;
    sort(a,a+m+2);
    if(s==t)
    {
        int ans=0;
        for(int i=1;i<=m;i++)
            if(a[i]%s==0)
                ans++;
        printf("%d\n",ans);
    }
    else
    {
        int d=0,k=lcm(s,t);
        for(int i=1;i<=m+1;i++)
        {
            int x=a[i]-d-a[i-1];
            if(x>k)d+=x-k;
            a[i]-=d;
            stones[a[i]]=1;
        }
        stones[a[m+1]]=0;
        for(int i=1;i<=a[m+1]+t-1;i++)
        {
            f[i]=666;
            for(int j=s;j<=t;j++)
                if(i>=j)
                    f[i]=min(f[i],f[i-j]);
            f[i]+=stones[i];
        }
        int ans=10000;
        for(int i=a[m+1];i<=a[m+1]+t-1;i++)
        {
            ans=min(ans,f[i]);
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}