K-Means 算法

在数据挖掘中, k-Means 算法是一种 cluster analysis 的算法,其主要是来计算数据聚集的算法,主要通过不断地取离种子点最近均值的算法。

问题

K-Means算法主要解决的问题如下图所示。我们可以看到,在图的左边有一些点,我们用肉眼可以看出来有四个点群,但是我们怎么通过计算机程序找出这几个点群来呢?于是就出现了我们的K-Means算法(Wikipedia链接

K-Means 要解决的问题

算法概要

这个算法其实很简单,如下图所示:

K-Means 算法概要

从上图中,我们可以看到,A, B, C, D, E 是五个在图中点。而灰色的点是我们的种子点,也就是我们用来找点群的点。有两个种子点,所以K=2。

然后,K-Means的算法如下:

  1. 随机在图中取K(这里K=2)个种子点。
  2. 然后对图中的所有点求到这K个种子点的距离,假如点Pi离种子点Si最近,那么Pi属于Si点群。(上图中,我们可以看到A,B属于上面的种子点,C,D,E属于下面中部的种子点)
  3. 接下来,我们要移动种子点到属于他的“点群”的中心。(见图上的第三步)
  4. 然后重复第2)和第3)步,直到,种子点没有移动(我们可以看到图中的第四步上面的种子点聚合了A,B,C,下面的种子点聚合了D,E)。

这个算法很简单,但是有些细节我要提一下,求距离的公式我不说了,大家有初中毕业水平的人都应该知道怎么算的。我重点想说一下“求点群中心的算法”

求点群中心的算法

一般来说,求点群中心点的算法你可以很简的使用各个点的X/Y坐标的平均值。不过,我这里想告诉大家另三个求中心点的的公式:

1)Minkowski Distance 公式 —— λ 可以随意取值,可以是负数,也可以是正数,或是无穷大。

2)Euclidean Distance 公式 —— 也就是第一个公式 λ=2 的情况

3)CityBlock Distance 公式 —— 也就是第一个公式 λ=1 的情况

这三个公式的求中心点有一些不一样的地方,我们看下图(对于第一个 λ 在 0-1之间)。

     

(1)Minkowski Distance     (2)Euclidean Distance    (3) CityBlock Distance

上面这几个图的大意是他们是怎么个逼近中心的,第一个图以星形的方式,第二个图以同心圆的方式,第三个图以菱形的方式。

K-Means的演示

如果你以”K Means Demo“为关键字到Google里查你可以查到很多演示。这里推荐一个演示

http://home.dei.polimi.it/matteucc/Clustering/tutorial_html/AppletKM.html

操作是,鼠标左键是初始化点,右键初始化“种子点”,然后勾选“Show History”可以看到一步一步的迭代。

注:这个演示的链接也有一个不错的 K Means Tutorial 。

K-Means ++ 算法

K-Means主要有两个最重大的缺陷——都和初始值有关:

  • K 是事先给定的,这个 K 值的选定是非常难以估计的。很多时候,事先并不知道给定的数据集应该分成多少个类别才最合适。( ISODATA 算法通过类的自动合并和分裂,得到较为合理的类型数目 K)
  • K-Means算法需要用初始随机种子点来搞,这个随机种子点太重要,不同的随机种子点会有得到完全不同的结果。(K-Means++算法可以用来解决这个问题,其可以有效地选择初始点)

我在这里重点说一下 K-Means++算法步骤:

  1. 先从我们的数据库随机挑个随机点当“种子点”。
  2. 对于每个点,我们都计算其和最近的一个“种子点”的距离D(x)并保存在一个数组里,然后把这些距离加起来得到Sum(D(x))。
  3. 然后,再取一个随机值,用权重的方式来取计算下一个“种子点”。这个算法的实现是,先取一个能落在Sum(D(x))中的随机值Random,然后用Random -= D(x),直到其<=0,此时的点就是下一个“种子点”。
  4. 重复第(2)和第(3)步直到所有的K个种子点都被选出来。
  5. 进行K-Means算法。

相关的代码你可以在这里找到“implement the K-means++ algorithm”(墙) 另,Apache 的通用数据学库也实现了这一算法

K-Means 算法应用

看到这里,你会说,K-Means算法看来很简单,而且好像就是在玩坐标点,没什么真实用处。而且,这个算法缺陷很多,还不如人工呢。是的,前面的例子只是玩二维坐标点,的确没什么意思。但是你想一下下面的几个问题:

1)如果不是二维的,是多维的,如5维的,那么,就只能用计算机来计算了。

2)二维坐标点的X, Y 坐标,其实是一种向量,是一种数学抽象。现实世界中很多属性是可以抽象成向量的,比如,我们的年龄,我们的喜好,我们的商品,等等,能抽象成向量的目的就是可以让计算机知道某两个属性间的距离。如:我们认为,18岁的人离24岁的人的距离要比离12岁的距离要近,鞋子这个商品离衣服这个商品的距离要比电脑要近,等等。

只要能把现实世界的物体的属性抽象成向量,就可以用K-Means算法来归类了

在 《k均值聚类(K-means)》 这篇文章中举了一个很不错的应用例子,作者用亚洲15支足球队的2005年到1010年的战绩做了一个向量表,然后用K-Means把球队归类,得出了下面的结果,呵呵。

  • 亚洲一流:日本,韩国,伊朗,沙特
  • 亚洲二流:乌兹别克斯坦,巴林,朝鲜
  • 亚洲三流:中国,伊拉克,卡塔尔,阿联酋,泰国,越南,阿曼,印尼

其实,这样的业务例子还有很多,比如,分析一个公司的客户分类,这样可以对不同的客户使用不同的商业策略,或是电子商务中分析商品相似度,归类商品,从而可以使用一些不同的销售策略,等等。

最后给一个挺好的算法的幻灯片:http://www.cs.cmu.edu/~guestrin/Class/10701-S07/Slides/clustering.pdf

(全文完)

kmeans聚类理论篇

前言

kmeans是最简单的聚类算法之一,但是运用十分广泛。最近在工作中也经常遇到这个算法。kmeans一般在数据分析前期使用,选取适当的k,将数据分类后,然后分类研究不同聚类下数据的特点。

本文记录学习kmeans算法相关的内容,包括算法原理,收敛性,效果评估聚,最后带上R语言的例子,作为备忘。

算法原理

kmeans的计算方法如下:

1 随机选取k个中心点

2 遍历所有数据,将每个数据划分到最近的中心点中

3 计算每个聚类的平均值,并作为新的中心点

4 重复2-3,直到这k个中线点不再变化(收敛了),或执行了足够多的迭代

时间复杂度:O(I*n*k*m)

空间复杂度:O(n*m)

其中m为每个元素字段个数,n为数据量,I为跌打个数。一般I,k,m均可认为是常量,所以时间和空间复杂度可以简化为O(n),即线性的。

算法收敛

从kmeans的算法可以发现,SSE其实是一个严格的坐标下降(Coordinate Decendet)过程。设目标函数SSE如下:

SSE(,,…,) = 

采用欧式距离作为变量之间的聚类函数。每次朝一个变量的方向找到最优解,也就是求偏倒数,然后等于0,可得

c_i= 其中m是c_i所在的簇的元素的个数

也就是当前聚类的均值就是当前方向的最优解(最小值),这与kmeans的每一次迭代过程一样。所以,这样保证SSE每一次迭代时,都会减小,最终使SSE收敛。

由于SSE是一个非凸函数(non-convex function),所以SSE不能保证找到全局最优解,只能确保局部最优解。但是可以重复执行几次kmeans,选取SSE最小的一次作为最终的聚类结果。

0-1规格化

由于数据之间量纲的不相同,不方便比较。举个例子,比如游戏用户的在线时长和活跃天数,前者单位是秒,数值一般都是几千,而后者单位是天,数值一般在个位或十位,如果用这两个变量来表征用户的活跃情况,显然活跃天数的作用基本上可以忽略。所以,需要将数据统一放到0~1的范围,将其转化为无量纲的纯数值,便于不同单位或量级的指标能够进行比较和加权。具体计算方法如下:

其中属于A。

轮廓系数

轮廓系数(Silhouette Coefficient)结合了聚类的凝聚度(Cohesion)和分离度(Separation),用于评估聚类的效果。该值处于-1~1之间,值越大,表示聚类效果越好。具体计算方法如下:

  1. 对于第i个元素x_i,计算x_i与其同一个簇内的所有其他元素距离的平均值,记作a_i,用于量化簇内的凝聚度。
  2. 选取x_i外的一个簇b,计算x_i与b中所有点的平均距离,遍历所有其他簇,找到最近的这个平均距离,记作b_i,用于量化簇之间分离度。
  3. 对于元素x_i,轮廓系数s_i = (b_i – a_i)/max(a_i,b_i)
  4. 计算所有x的轮廓系数,求出平均值即为当前聚类的整体轮廓系数

从上面的公式,不难发现若s_i小于0,说明x_i与其簇内元素的平均距离小于最近的其他簇,表示聚类效果不好。如果a_i趋于0,或者b_i足够大,那么s_i趋近与1,说明聚类效果比较好。

K值选取

在实际应用中,由于Kmean一般作为数据预处理,或者用于辅助分类贴标签。所以k一般不会设置很大。可以通过枚举,令k从2到一个固定值如10,在每个k值上重复运行数次kmeans(避免局部最优解),并计算当前k的平均轮廓系数,最后选取轮廓系数最大的值对应的k作为最终的集群数目。

实际应用

下面通过例子(R实现,完整代码见附件)讲解kmeans使用方法,会将上面提到的内容全部串起来

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library(fpc) # install.packages("fpc")
data(iris)
head(iris)

加载实验数据iris,这个数据在机器学习领域使用比较频繁,主要是通过画的几个部分的大小,对花的品种分类,实验中需要使用fpc库估计轮廓系数,如果没有可以通过install.packages安装。

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# 0-1 正规化数据
min.max.norm <- function(x){
    (x-min(x))/(max(x)-min(x))
}
raw.data <- iris[,1:4]
norm.data <- data.frame(sl = min.max.norm(raw.data[,1]),
                                        sw = min.max.norm(raw.data[,2]),
                                        pl = min.max.norm(raw.data[,3]),
                                        pw = min.max.norm(raw.data[,4]))

对iris的4个feature做数据正规化,每个feature均是花的某个不为的尺寸。

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# k取2到8,评估K
K <- 2:8
round <- 30 # 每次迭代30次,避免局部最优
rst <- sapply(K, function(i){
    print(paste("K=",i))
    mean(sapply(1:round,function(r){
        print(paste("Round",r))
        result <- kmeans(norm.data, i)
        stats <- cluster.stats(dist(norm.data), result$cluster)
        stats$avg.silwidth
    }))
})
plot(K,rst,type='l',main='轮廓系数与K的关系', ylab='轮廓系数')

评估k,由于一般K不会太大,太大了也不易于理解,所以遍历K为2到8。由于kmeans具有一定随机性,并不是每次都收敛到全局最小,所以针对每一个k值,重复执行30次,取并计算轮廓系数,最终取平均作为最终评价标准,可以看到如下的示意图,

当k取2时,有最大的轮廓系数,虽然实际上有3个种类。

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# 降纬度观察
old.par <- par(mfrow = c(1,2))
k = 2 # 根据上面的评估 k=2最优
clu <- kmeans(norm.data,k)
mds = cmdscale(dist(norm.data,method="euclidean"))
plot(mds, col=clu$cluster, main='kmeans聚类 k=2', pch = 19)
plot(mds, col=iris$Species, main='原始聚类', pch = 19)
par(old.par)

聚类完成后,有源原始数据是4纬,无法可视化,所以通过多维定标(Multidimensional scaling)将纬度将至2为,查看聚类效果,如下

可以发现原始分类中和聚类中左边那一簇的效果还是拟合的很好的,右测原始数据就连在一起,kmeans无法很好的区分,需要寻求其他方法。

kmeans最佳实践

1. 随机选取训练数据中的k个点作为起始点

2. 当k值选定后,随机计算n次,取得到最小开销函数值的k作为最终聚类结果,避免随机引起的局部最优解

3. 手肘法选取k值:绘制出k--开销函数闪点图,看到有明显拐点(如下)的地方,设为k值,可以结合轮廓系数。

4. k值有时候需要根据应用场景选取,而不能完全的依据评估参数选取。

参考

[1] kmeans 讲义by Andrew NG

[2] 坐标下降法(Coordinate Decendent)

[3] 数据规格化

[4] 维基百科--轮廓系数

[5] kmeans算法介绍

[6] 降为方法—多维定标

[7] Week 8 in Machine Learning, by Andrew NG, Coursera

K-means聚类算法

K-means也是聚类算法中最简单的一种了,但是里面包含的思想却是不一般。最早我使用并实现这个算法是在学习韩爷爷那本数据挖掘的书中,那本书比较注重应用。看了Andrew Ng的这个讲义后才有些明白K-means后面包含的EM思想。

聚类属于无监督学习,以往的回归、朴素贝叶斯、SVM等都是有类别标签y的,也就是说样例中已经给出了样例的分类。而聚类的样本中却没有给定y,只有特征x,比如假设宇宙中的星星可以表示成三维空间中的点集。聚类的目的是找到每个样本x潜在的类别y,并将同类别y的样本x放在一起。比如上面的星星,聚类后结果是一个个星团,星团里面的点相互距离比较近,星团间的星星距离就比较远了。

在聚类问题中,给我们的训练样本是,每个,没有了y。

K-means算法是将样本聚类成k个簇(cluster),具体算法描述如下:

1、 随机选取k个聚类质心点(cluster centroids)为

2、 重复下面过程直到收敛 {

对于每一个样例i,计算其应该属于的类

对于每一个类j,重新计算该类的质心

}

K是我们事先给定的聚类数,代表样例i与k个类中距离最近的那个类,的值是1到k中的一个。质心代表我们对属于同一个类的样本中心点的猜测,拿星团模型来解释就是要将所有的星星聚成k个星团,首先随机选取k个宇宙中的点(或者k个星星)作为k个星团的质心,然后第一步对于每一个星星计算其到k个质心中每一个的距离,然后选取距离最近的那个星团作为,这样经过第一步每一个星星都有了所属的星团;第二步对于每一个星团,重新计算它的质心(对里面所有的星星坐标求平均)。重复迭代第一步和第二步直到质心不变或者变化很小。

下图展示了对n个样本点进行K-means聚类的效果,这里k取2。

K-means面对的第一个问题是如何保证收敛,前面的算法中强调结束条件就是收敛,可以证明的是K-means完全可以保证收敛性。下面我们定性的描述一下收敛性,我们定义畸变函数(distortion function)如下:

J函数表示每个样本点到其质心的距离平方和。K-means是要将J调整到最小。假设当前J没有达到最小值,那么首先可以固定每个类的质心,调整每个样例的所属的类别来让J函数减少,同样,固定,调整每个类的质心也可以使J减小。这两个过程就是内循环中使J单调递减的过程。当J递减到最小时,和c也同时收敛。(在理论上,可以有多组不同的和c值能够使得J取得最小值,但这种现象实际上很少见)。

由于畸变函数J是非凸函数,意味着我们不能保证取得的最小值是全局最小值,也就是说k-means对质心初始位置的选取比较感冒,但一般情况下k-means达到的局部最优已经满足需求。但如果你怕陷入局部最优,那么可以选取不同的初始值跑多遍k-means,然后取其中最小的J对应的和c输出。

下面累述一下K-means与EM的关系,首先回到初始问题,我们目的是将样本分成k个类,其实说白了就是求每个样例x的隐含类别y,然后利用隐含类别将x归类。由于我们事先不知道类别y,那么我们首先可以对每个样例假定一个y吧,但是怎么知道假定的对不对呢?怎么评价假定的好不好呢?我们使用样本的极大似然估计来度量,这里是就是x和y的联合分布P(x,y)了。如果找到的y能够使P(x,y)最大,那么我们找到的y就是样例x的最佳类别了,x顺手就聚类了。但是我们第一次指定的y不一定会让P(x,y)最大,而且P(x,y)还依赖于其他未知参数,当然在给定y的情况下,我们可以调整其他参数让P(x,y)最大。但是调整完参数后,我们发现有更好的y可以指定,那么我们重新指定y,然后再计算P(x,y)最大时的参数,反复迭代直至没有更好的y可以指定。

这个过程有几个难点,第一怎么假定y?是每个样例硬指派一个y还是不同的y有不同的概率,概率如何度量。第二如何估计P(x,y),P(x,y)还可能依赖很多其他参数,如何调整里面的参数让P(x,y)最大。这些问题在以后的篇章里回答。

这里只是指出EM的思想,E步就是估计隐含类别y的期望值,M步调整其他参数使得在给定类别y的情况下,极大似然估计P(x,y)能够达到极大值。然后在其他参数确定的情况下,重新估计y,周而复始,直至收敛。

上面的阐述有点费解,对应于K-means来说就是我们一开始不知道每个样例对应隐含变量也就是最佳类别。最开始可以随便指定一个给它,然后为了让P(x,y)最大(这里是要让J最小),我们求出在给定c情况下,J最小时的(前面提到的其他未知参数),然而此时发现,可以有更好的(质心与样例距离最小的类别)指定给样例,那么得到重新调整,上述过程就开始重复了,直到没有更好的指定。这样从K-means里我们可以看出它其实就是EM的体现,E步是确定隐含类别变量,M步更新其他参数来使J最小化。这里的隐含类别变量指定方法比较特殊,属于硬指定,从k个类别中硬选出一个给样例,而不是对每个类别赋予不同的概率。总体思想还是一个迭代优化过程,有目标函数,也有参数变量,只是多了个隐含变量,确定其他参数估计隐含变量,再确定隐含变量估计其他参数,直至目标函数最优。

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