[LOJ6433] [PKUSC2018] 最大前缀和

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LOJ：https://loj.ac/problem/6433

Solution

注意到最大前缀要满足什么性质，假设序列\(a[1..n]\)的最大前缀是\(s_x\)，那么显然要满足所有\(x\)结尾的后缀和都为正，且所有\(x\)开头的前缀和都为负，\(0\)的情况不影响。

有了这个转化之后就好做了，直接状压，设\(g[s]\)为选了\(s\)这些数，能构成多少种序列，使得所有前缀都为负或\(0\)。

转移直接暴力枚举当前哪一个填最后一位就好了。

设\(f[s]\)表示选了\(s\)这些数，能构成多少种序列使得除了整个序列以外所有后缀都为正，转移和上面类似。

然后统计答案直接乘起来就好了。

复杂度\(O(2^n\cdot n)\)。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

void read(int &x) {
    x=0;int f=1;char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-f;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';x*=f;
}

void print(int x) {
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    if(!x) return ;print(x/10),putchar(x%10+48);
}
void write(int x) {if(!x) putchar('0');else print(x);putchar('\n');}

#define lf double
#define ll long long 

#define pii pair<int,int >
#define vec vector<int >

#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fr first
#define sc second

#define FOR(i,l,r) for(int i=l,i##_r=r;i<=i##_r;i++) 

const int maxn = (1<<20)+10;
const int inf = 1e9;
const lf eps = 1e-8;
const int mod = 998244353;

int add(int x,int y) {return x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}
int del(int x,int y) {return x-y<0?x-y+mod:x-y;}
int mul(int x,int y) {return 1ll*x*y-1ll*x*y/mod*mod;}

int s[maxn],f[maxn],g[maxn],a[22],n,all,ans;

int main() {
    read(n);FOR(i,0,n-1) read(a[i]);all=1<<n,all--;
    FOR(i,1,all) s[i]=a[__builtin_ctz(i)]+s[i^(i&-i)];g[0]=1;
    FOR(i,1,all) if(s[i]<=0) FOR(j,0,n-1) if((i>>j)&1) g[i]=add(g[i],g[i^(1<<j)]);
    FOR(i,0,n-1) f[1<<i]=1;
    FOR(i,1,all) {
        if(s[i]>0) FOR(j,0,n-1) if(!((i>>j)&1)) f[i^(1<<j)]=add(f[i^(1<<j)],f[i]);
        ans=add(ans,mul(s[i]%mod+mod,mul(f[i],g[all-i])));
    }write(ans);
    return 0;
}