[SDOI2010]地精部落[计数dp]

题意

求有多少长度为 \(n\) 的排列满足 \(a_1< a_2> a_3 < a_4 \cdots\) 或者 $a_1> a_2 < a_3 > a_4\cdots $.

\(n\leq 4200\) .

分析

• 影响决策的在于有多少个数字大于当前的数字，而不在乎这些数字具体是多少。

• 定义状态 \(f_{i,j}\) 表示选择到了第 \(i\) 个位置，还有 \(j\) 个数字比 \(a_i\) 大的方案总数。

• 转移显然，分第一步是 \(>\) 还是 \(<\) 就好了。

• 总时间复杂度为 \(O(n^2)\) 。

组合计数dp:将关键值排序看成新的排列而不在乎每个数字的真实大小来dp。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].to;i;i=e[i].last,v=e[i].to)
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define pb push_back
typedef long long LL;
inline int gi(){
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch))	{if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while(isdigit(ch)){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-48;ch=getchar();}
	return x*f;
}
template<typename T>inline bool Max(T &a,T b){return a<b?a=b,1:0;}
template<typename T>inline bool Min(T &a,T b){return b<a?a=b,1:0;}
const int N=4400;
int n,mod,ans;
int s[N][N];
void add(int &a,int b){a+=b;if(a>=mod) a-=mod;}
int main(){
	n=gi(),mod=gi();
	rep(i,0,n-1) s[1][i]=(i?s[1][i-1]:0)+1;
	rep(i,2,n)
	rep(j,0,n-i){
		s[i][j]=j?s[i][j-1]:0;
		if(!(i&1)) add(s[i][j],(s[i-1][n-i+1]-s[i-1][j]+mod)%mod);
		else add(s[i][j],s[i-1][j]);
	}
	add(ans,s[n][0]);
	memset(s,0,sizeof s);
	rep(i,0,n-1) s[1][i]=(i?s[1][i-1]:0)+1;
	rep(i,2,n)
	rep(j,0,n-i){
		s[i][j]=j?s[i][j-1]:0;
		if(i&1) add(s[i][j],(s[i-1][n-i+1]-s[i-1][j]+mod)%mod);
		else add(s[i][j],s[i-1][j]);
	}
	add(ans,s[n][0]);
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}