Conquer and Divide经典例子之汉诺塔问题

递归是许多经典算法的backbone, 是一种常用的高效的编程策略。简单的几行代码就能把一团遭的问题迎刃而解。这篇博客主要通过解决汉诺塔问题来理解递归的精髓。

汉诺塔问题简介：
在印度，有这么一个古老的传说：在世界中心贝拿勒斯（在印度北部）的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针。印度教的主神梵天在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片，这就是所谓的汉诺塔。不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片，1. 一次只移动一片； 2. 不管在哪根针上，小片必在大片上面。当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一概针上时，世界就将在一声霹雳中消灭，梵塔、庙宇和众生都将同归于尽。

我们首先假设要把n个金片从宝针‘A’移动宝针‘B’，还有有另外一根'V'可以借用。

 

如果n = 1，那么直接从 A->B 即可。

如果n = 2，那么先把A最上面（第一个）金片移动到V，暂且放一下，然后第二个金片移动到B目的地，接着再把V上面的移动到B目的地，所以移动的次序是 A->V,  A->B,  V-B。

如果n = 3，可以这么考虑: 先不看出发地A最下面一个最大的金片，先解决怎么把上面两个移走，方法我们已经知道了，但是移到哪里呢？只有B, V可选，B肯定是不行，因为B是目的地，那么只能是通过B先把两个金片移动到V（A->B, A->V, B->V），然后最下面那个最大的金片移动到目的地B（A->B）。注意这时B上面仅有这个最大的金片，A上面空的，V上面有两个金片。接着把V上面两个金片借由A移动到B（V->A, V->B, A->B）。

如果n = 4, 同样的不考虑最大的一个，先把前三个移动到V，使用上面介绍的移动次序。

以此类推（其实 n = 2时，也可以看作是先解决最上面一个的问题，然后才是把最下面的金片移动到目的地）

通过分析，发现解决n个金片的方法是先借由B,把n-1个移动到V，然后把A最下面一个移动到B，在然后借由A把V上面n-1移动到B。

用java实现如下

// in java
public class Hanoi{
    private static int count = 0;
    public static void move(char src, char des, int n){
        System.out.println("plate:"+ src +" pillar"+"->"+des+" pillar");
        count++;

    }

    public static void hanoiSolver(char src, char via, char des, int n){
        if (n==1){
            move(src, des, n);
        } else{
            hanoiSolver(src, des, via, n-1);
            move(src, des, n);
            hanoiSolver(via, src, des, n-1);
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        char src = 'A'; //source pillar
        char des = 'B'; //detination pillar
        char via = 'V'; //via pillar
        int n = 3;// the numer of plates
        hanoiSolver(src, via, des, n);
        System.out.println("the total number of moves is "+count);
    }
}

 

仔细分析这个算法，可以学习到：

1. 初中高中大学数学解题中常常用到的归纳总结。一个看似复杂至极的问题，先心里不要慌，初步分析前面几个，看到规律，推而广之。

2. 计算过程中的调用自身函数，形成重入，并因此而把复杂问题化解为相对简单或已经知道答案的小问题。这也不经我想到解数列题的各种方法。（对不起，高中是博主学习数学最认真的时候）

3. 在递归中必须有明确递归结束条件称递归出口，否则就是死循环啦。如本问题中当n=1时，就是退出递归的时候。

故事中所说的如果成功得把金片移动结束，世界就灰飞烟灭，这是真的吗？我们来小研究下：

假设f(n)为n个盘子要移动的次数。
那么根据上面分析 f(n + 1) = f(n) + 1 +f(n) = 2*f(n)+1

变换为  [f(n + 1) + 1] = 2*[f(n) + 1]， 经典等比数列
因为f(1) = 1，所以可得f(n) = 2^n - 1。

f(64)= 2^64-1，

所以一共要移动 2^64-1次, 假使一秒钟移动一次，不吃不睡觉，一共要移动2.1350398e+14天，584,942,417,355年。

Take-away Tip:

递归Recursive 就是在程序中调用自身，形成重入，把复杂问题层层简化成一个已然解决的问题，

并在一定条件下退出递归。