题解 P1403 【[AHOI2005]约数研究】
看到题解区很多人直接给出结论:答案为 \(\displaystyle \sum_{i=1}^n\lfloor{n\over i}\rfloor\) ,没给出证明,这里给出证明
【分析】
首先,我们可以知道 \(\displaystyle f(n)=\sum_{d\mid n}1\)
有的同学看不懂这个公式,我解释一下,这个公式表达:
枚举 \(n\) 的因数 \(d\),每枚举一个因数 \(d\), \(f(n)\) 加 \(1\)
\(d\mid n\) 指 \(d\) 是 \(n\) 的因数
这样一来,我们就可以和题目的对应上了: \(f(n)\) 代表 \(n\) 的因数个数
\(\displaystyle f(n)=\sum_{d\mid n}1\) 还有一种表达方式是 \(\displaystyle f(n)=\sum_{d=1}^n[d\mid n]\)
后面那个鬼东西 \([d\mid n]\) 是一个判断正误的函数,正确为 \(1\) ,错误为 \(0\)
这个应该理解起来也不难:
枚举每一个数 \(d\) ,当 \(d\) 是 \(n\) 的因数时, \(f(n)\) 加 \(1\)
题目要求的 \(\displaystyle M=\sum_{i=1}^n f(i)\)
我们代入上面的定义式:
\(\quad \displaystyle M\)
\(\displaystyle=\sum_{i=1}^n\sum_{d\mid i}1\)
\(\displaystyle=\sum_{i=1}^n\sum_{d=1}^i[d\mid i]\)
我们调换一下枚举的顺序,把 \(d\) 的枚举提前。
相当于考虑 \(d=1\) 时,对 \(i=1,2,3\dots n\) 的贡献; \(d=2\) 时对 \(i=1,2,3\dots n\) 的贡献; \(\dots\) ;\(d=n\) 时对 \(i=1,2,3\dots n\) 的贡献
\(\displaystyle=\sum_{d=1}^n\sum_{i=1}^n[d\mid i]\)
对于一个固定的 \(d\) ,\(\displaystyle\sum_{i=1}^n[d\mid i]\) 的意义非常直观:
\(1\)~\(n\) 中,有多少个数以 \(d\) 为因数,即多少个数是 \(d\) 的倍数
应该是 \(\lfloor{n\over d}\rfloor\) 吧
所以我们得到 \(\displaystyle M=\sum_{d=1}^n\lfloor{n\over d}\rfloor\)
【代码】
那本蒟蒻就放 我码风极丑的 代码了:
C++ 版:
#include<iostream>
using namespace std;
int main(){
int n,ans=0;
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++) ans+=n/i;
cout<<ans;
}
Python 3 版:
ans=0
n=int(input())
for i in range(1,n+1):
ans+=n//i
print(ans)
最后安利一下本蒟蒻的博客
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