Z变换解差分方程的思考

问题描述

今日碰到一道差分方程的题目，如下 [
y(n + 2) - cfrac{7}{10}y(n + 1) + cfrac{1}{10}y(n) = 7x(n+2) -2 x(n + 1)
] 已知(x(n) = left(cfrac{1}{2}right)^n u(n) , y(0) = 2, y(1) = 4​)，求全响应。

一般求解这种题目的思路很清晰，首先根据特征方程求出特征根，从而得出零输入解的形式，但是这个时候给的条件是(y(0))和(y(1))，而不是(y_{zi}(0))和(y_{zi}(1))，这意味着此时我们不能直接得出零输入解的系数。这个时候我们可以求出系统的零状态响应，然后可以得出(y_{zs}(0))和(y_{zs}(1))，然后根据(y_{zi}(0) = y(0) - y_{zs}(0))，(y_{zi}(1) = y(1) - y_{zs}(1))，然后得出零输入响应的系数，然后将零输入响应和零状态响应相加得到全响应。

上面的思路很清晰，但是却是有点麻烦，我们可以根据 [
begin{aligned}
Z{y(n + 2) } &= z^2(Y(z) - y(0) - y(1)z^{-1}) \
Z{y(n + 1) } &= z(Y(z) - y(0))
end{aligned}
] 对上面同时进行(Z)变换 [
z^2(Y(z) - y(0) - y(1)z^{-1}) - cfrac{7}{10}z(Y(z) - y(0)) + cfrac{1}{10}Y(z) = 7z^2X(z) - 2zX(z)
] 上面的式子是我在答案(不一定正确的答案)上看到的，但是你没有发现有没有一丝丝的不对，怎么 [
Z{x(n + 2)} = z^2X(z) neq z^2(X(z) - x(0) - x(1)z^{-1})
] 那么问题来了，哪种是对的呢?

我认为(Z{x(n + 2)} = z^2(X(z) - x(0) - x(1)z^{-1}))是对的。但是我们经常见到好像是(Z{x(n + 2)} = z^2X(z))的形式，这是怎么回事，这是因为在课本上我们见到的都是(y(n - n_0), x(n - n_0))这种后向差分的形式，因为这时做(Z)变换与(x(-n_0))有关，而(x(n) = 0 , n < 0)，所以后面就没有长长的"尾巴"。我们将上面的差分方程改写为 [
y(n) - cfrac{7}{10}y(n - 1) + cfrac{1}{10}y(n - 2) = 7x(n) -2 x(n - 1)
] 然后对两边进行(Z)变换得到 [
Y(z) - cfrac{7}{10}z^{-1}(Y(z) + y(-1)z) + cfrac{1}{10}z^{-2}(Y(z) + y(-1)z + y(-2)z^2) = 7X(z) - 2z^{-1}X(z)
] 因为(x(-1) = x(-2) = 0)，所以后面就没有"尾巴"，然后两边同时乘以(z^2)得到

[
z^2Y(z) - cfrac{7}{10}z(Y(z) + y(-1)z) + cfrac{1}{10}(Y(z) + y(-1)z + y(-2)z^2) = 7z^2X(z) - 2zX(z)
]

求证想法

为了验证我的说法，这里使用最前面提到的方法(分别求零输入和零状态)和上面我的想法求解，看看答案是否一致，如果一致的话，说明我的想法是正确的。

解法一：

由特征方程 [
r^2 - cfrac{7}{10}r + cfrac{1}{10} = (r - cfrac{1}{2})(r - cfrac{1}{5}) = 0 Rightarrow r = cfrac{1}{2},cfrac{1}{5}
]

于是设零输入响应的解为 [
y_{zi}(n) = C_1 left( cfrac{1}{2} right)^nu(n) + C_2 left( cfrac{1}{5} right)^nu(n)
]

由差分方程知 [
H(z) = cfrac{7z^2 - 2z}{(z - cfrac{1}{2})(z - cfrac{1}{5})}
]

又 [
X(z) = cfrac{z}{z - cfrac{1}{2}}
]

故 [
Y(z) = H(z)X(z) = cfrac{z(7z^2 - 2z)}{(z - cfrac{1}{2})^2(z - cfrac{1}{5})} = cfrac{5}{2} cfrac{z}{(z - cfrac{1}{2})^2} + cfrac{25}{3}cfrac{z}{z - cfrac{1}{2}} - cfrac{4}{3} cfrac{z}{z - cfrac{1 大专栏  Z变换解差分方程的思考}{5}}
]

则 [
y_{zs}(n) = 5nleft( cfrac{1}{2} right)^nu(n) + cfrac{25}{3}left( cfrac{1}{2} right)^nu(n) - cfrac{4}{3}left( cfrac{1}{5} right)^nu(n)
]

则 [
begin{aligned}
y_{zi}(0) &= C_1 + C_2 &= y(0) - y_{zs}(0) &= -5 \
y_{zi}(1) &= cfrac{1}{2}C_1 + cfrac{1}{5}C_2 &= y(1) - y_{zs}(1) & = -cfrac{12}{5}
end{aligned}
]

得到 [
C_1 = -cfrac{14}{3} \
C_2 = -cfrac{1}{3}
]

则 [
y_{zi}(n) = -cfrac{14}{3} left( cfrac{1}{2} right)^nu(n) -cfrac{1}{3} left( cfrac{1}{5} right)^nu(n)
]

解法二： [
y(n + 2) - cfrac{7}{10}y(n + 1) + cfrac{1}{10}y(n) = 7x(n+2) -2 x(n + 1)
]

两边同时求(Z)变换 [
z^2(Y(z) - y(0) - y(1)z^{-1}) - cfrac{7}{10}z(Y(z) - y(0)) + cfrac{1}{10}Y(z) = 7z^2(X(z) - x(0) - x(1)z^{-1}) - 2z(X(z) - x(0))
]

得到 [
Y(z) = cfrac{(y(0) - 7x(0))z^2 + (y(1) - cfrac{7}{10} y(0) - 7x(1) + 2x(0))z}{(z - cfrac{1}{2})(z - cfrac{1}{5})} + H(z)X(z)
]

可知 [
Y_{zi}(z) = cfrac{(y(0) - 7x(0))z^2 + (y(1) - cfrac{7}{10} y(0) - 7x(1) + 2x(0))z}{(z - cfrac{1}{2})(z - cfrac{1}{5})} = cfrac{-5z^2 + cfrac{11}{10}z}{(z - cfrac{1}{2})(z - cfrac{1}{5})} = -cfrac{14}{3}cfrac{z}{z - cfrac{1}{2}} - cfrac{1}{3}cfrac{z}{z - cfrac{1}{5}}
]

所以 [
y_{zi}(n) = -cfrac{14}{3} left( cfrac{1}{2} right)^nu(n) -cfrac{1}{3} left( cfrac{1}{5} right)^nu(n)
]

同第一种解法一样，所以我的想法是正确的(小声BB答案错了)。

总结

其实根据题目给的初始条件不同，我们的解法也不相同，这里总结一下如果给出不同的初始条件应当采取什么解法(以二阶为例)：

1. 给出(y(0), y(1))，就是我上面提到的情况，有两种方法

   1. 分别求零输入响应和零状态响应，此时零输入响应的系数需要求出零状态响应后才能知道
   2. 直接进行(Z)变换

2. 给出(y_{zi}(0), y_{zi}(1)​)，同样也有两种方法，不过与上面有所不同(实际上是简单了)

   1. 分别求零输入响应和零状态响应，此时由于直接给出了(y_{zi}(0), y_{zi}(1)​)，所以可以直接求出零输入响应的系数
   2. 直接进行(Z)变换，此时的形式与上面又有所不同，这时不是

   [
   z^2(Y(z) - y(0) - y(1)z^{-1}) - cfrac{7}{10}z(Y(z) - y(0)) + cfrac{1}{10}Y(z) = 7z^2(X(z) - x(0) - x(1)z^{-1}) - 2z(X(z) - x(0))
   ]

   而是 [
   z^2(Y(z) - y_{zi}(0) - y_{zi}(1)z^{-1}) - cfrac{7}{10}z(Y(z) - y_{zi}(0)) + cfrac{1}{10}Y(z) = 7z^2X(z) - 2zX(z)
   ]

3. 给出(y(-2), y(-1))，同样两种解法，因为(y_{zs}(-2) = y_{zs}(-1) = 0)，所以(y_{zi}(-2) = y(-2), y_{zi}(-1) = y(-1))，这时同第二种情况是一样的了

   1. 分别求零输入响应和零状态响应，过程同第二种情况一样

   2. 直接进行(Z)变换，此时的形式为 [
      Y(z) - cfrac{7}{10}z^{-1}(Y(z) + y(-1)z) + cfrac{1}{10}z^{-2}(Y(z) + y(-1)z + y(-2)z^2) = 7X(z) - 2z^{-1}X(z)
      ]

4. 给出(y(-1), y(0)​)，这时我们可以将值代入方程迭代处(y(1)​)从而转变为第一种情况，或者迭代出(y(-2)​)转变为第三种情况。鉴于求解的复杂性，最好迭代出(y(-2)​)