关于欧几里得算法（gcd）的证明

求a，b的最大公约数我们经常用欧几里得算法解决，也称辗转相除法，

代码很简短，

int gcd(int a,int b){
    return (b==0)?a:gcd(b,a%b);
}

但其中的道理却很深刻，完全理解不简单，以前都只是记一下代码，今天研究了很久，才差不多理解了其中的原因

从代码可以看出，gcd(a,b)=gcd(b,a%b),关键就在于证明这个等式

证明如下，

设c=gcd(a,b)，则a=kc，b=nc（n,c为正整数）,

设r=a%b，可得r=a-mb（m为a/b向下取整）,

将a,b代入，得r=kc-mnc=(k-mn)c，

可证(k-mn)与n互质，过程如下

反证法，若(k-mn)与n不互质，则存在正整数d(d>1)使得k-mn=xd，n=yd,

则k=mn+xd=myd+xd=(my+x)d，

那么a=kc=(my+x)dc，b=nc=ydc，在这里gcd(a,b)变成了dc，而d>1则dc<>c，不成立

所以k-mn与n互为质数

接下来令t=k-mn,那么r=tc,可以发现b=nc且n与t互质，那么gcd(b,r)会等于c

从而得出gcd(a,b)=gcd(b,r)，即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)的结论

Hint

那么为什么不能是gcd(a,b)=gcd(a,r)呢？这个问题其实不难，因为a=kc，无法证明k与k-mn互质

按照上面的步骤，k-mn=xd，k=yd(d>1)，只能得出k=mn+xd=yd，这个式子并没有什么卵用

可以自己举几个例子试试，

例如gcd(99,15)，99%15=9，9与15互质，可化为gcd(15,9),最终答案为3

而如果用gcd(a,r)，转为gcd(99,9)，最终答案为9，这就是是因为9=3*3,99=3*33，而3与33不互质

End

蒟蒻的推理到此结束，如有不对的地方还望提出