HNOI2013 BZOJ3142 数列

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3142: [Hnoi2013]数列

Description

小T最近在学着买股票，他得到内部消息：F公司的股票将会疯涨。股票每天的价格已知是正整数，并且由于客观上的原因，最多只能为N。在疯涨的K天中小T观察到：除第一天外每天的股价都比前一天高，且高出的价格（即当天的股价与前一天的股价之差）不会超过M，M为正整数。并且这些参数满足M(K-1)<N。

小T忘记了这K天每天的具体股价了，他现在想知道这K天的股价有多少种可能。

Input

只有一行用空格隔开的四个数：N、K、M、P。对P的说明参见后面“输出格式”中对P的解释。

输入保证20%的数据M,N,K,P≤20000，保证100%的数据M,K,P≤10^9，N≤1018 。

Output

仅包含一个数，表示这K天的股价的可能种数对于P的模值。

Sample Input

7 3 2 997

Sample Output

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首先来讲讲我是怎么做(鬼)出这道题的。

没错就是打表。

对上次考试打完表没看出1,2,6,24是阶乘的事情耿耿于怀的我决定用打表做出这道一看就是打表题的题。

首先我花了20分钟碌碌无为，对于答案f(n,k,m)打了一个小表，什么都没有发现。

20分钟左右我开始固定k和m，移动n。

实验了几组k在2~4的数据后发现从n到n+1，答案会增长m^(k-1)。

试到30分钟，总结出：规律是在n=m(k-1)处开始的。

对！因为题目保证了n>m(k-1)，所以这个规律可以放心大胆用。###

然后我打了关于k,m的f(m*(k-1),k,m)的表，即临界表。

大概长这个样子：

k\m     2     3     4     5
2       1     3     6     10
3       4     18    48    100
4       12    81    288   750
5       32    324   1536  5000

第一眼看过去没什么规律？

乱搞到40分钟，发现第k行的都能被(k-1)整除，除掉再看：

k\m     2     3     4     5
2       1     3     6     10
3       2     9     24    50
4       4     27    96    250
5       8     81    384   1250

发现每一列下来都是乘以m?所以只要看第一列。

m     2     3     4     5
      1     3     6     10

相差是个等差数列，那就是个二次多项式了。

这时规律就比较明显了：(m-1)*m/2。

然后再整理一下就会得到答案：

Ans=(k-1)×(m-1)×m/2×m^{(k-2)+[n-m(k-1)]×m}(k-1)####

50分钟不到开打，一个小时不到就做完了。

放在省选里面这个时间是可以接受的(NOIPT2也是1h左右吧?)。

这个时候我们不能满足是吧？要知道正解是什么。

第一步：将原数组差分，得到k-1个[1,m]内的正整数a[1…k-1]。

第二步：当前方案数即为n-sum(a[1] to a[k-1])。

所以总的方案数就是sum(n-sum(a[1] to a[k-1]))。

把n提出来，为n×m^(k-1)。

然后后面那个东西，网上的理解我推不出来，是要对于每个东西单独考虑？不会。