Description

小 C 最近学了很多最小生成树的算法，Prim 算法、Kurskal 算法、消圈算法等等。 正当小 C 洋洋得意之时，小 P 又来泼小 C 冷水了。小 P 说，让小 C 求出一个无向图的次小生成树，而且这个次小生成树还得是严格次小的，也就是说： 如果最小生成树选择的边集是 EM，严格次小生成树选择的边集是 ES，那么需要满足：(value(e) 表示边 e的权值) 这下小 C 蒙了，他找到了你，希望你帮他解决这个问题。

Input

第一行包含两个整数N 和M，表示无向图的点数与边数。 接下来 M行，每行 3个数x y z 表示，点 x 和点y之间有一条边，边的权值为z。

Output

包含一行，仅一个数，表示严格次小生成树的边权和。(数据保证必定存在严格次小生成树)

Sample Input

5 6
1 2 1
1 3 2
2 4 3
3 5 4
3 4 3
4 5 6

Sample Output

11

HINT

数据中无向图无自环； 50% 的数据N≤2 000 M≤3 000； 80% 的数据N≤50 000 M≤100 000； 100% 的数据N≤100 000 M≤300 000 ，边权值非负且不超过 10^9 。

题解

就是求严格次小生成树

目前常见做法是先用Kurskal求出最小生成树

然后枚举不在树上的边，试着把它连到树上，找到形成的环上边权最大但不等于新加的边权的一条边，计算出（最小生成树权值+新加边边权-找到的最大）

对每条不在最小生成树上的边计算过之后再取min就是结果

而要求形成的环上边权最大但不等于新加的边权的一条边，我们就可以用树剖维护一个最大值和次大值，然后就可以轻松（mlog2n）得出答案了

我才不会说我边权转化成点权的时候没按dfn序结果调了一整天也没发现呢，哼

代码

  1. //by 减维
  2. #include<cstdio>
  3. #include<iostream>
  4. #include<cstring>
  5. #include<queue>
  6. #include<cstdlib>
  7. #include<ctime>
  8. #include<cmath>
  9. #include<algorithm>
  10. #define ll long long
  11. #define ls l,mid,v<<1
  12. #define rs mid+1,r,v<<1|1
  13. #define getm mid=(l+r)>>1
  14. using namespace std;
  15.  
  16. struct us{
  17.     int x,y;
  18.     ll v;
  19. }edg[];
  20.  
  21. struct edge{
  22.     int to,ne;
  23.     ll v;
  24. }e[];
  25.  
  26. int n,m,num,ecnt,fa[],dep[],siz[],son[],val[];
  27. int f[],dfn[],out[],head[],top[];
  28. long long ans1,ans2,ans,ma[],ma2[];
  29. bool pd[];
  30. ll inf=1ll<<;
  31.  
  32. bool cmp(const us&x,const us&y){return x.v<y.v;}
  33. bool cm2(int x,int y){return x>y;}
  34.  
  35. int find(int x)
  36. {
  37.     if(x==fa[x])return x;
  38.     fa[x]=find(fa[x]);
  39.     return fa[x];
  40. }
  41.  
  42. void add(int x,int y,int z)
  43. {
  44.     e[++ecnt].to=y;
  45.     e[ecnt].ne=head[x];
  46.     e[ecnt].v=z;
  47.     head[x]=ecnt;
  48. }
  49.  
  50. void df1(int x)
  51. {
  52.     dep[x]=dep[f[x]]+;
  53.     siz[x]=;
  54.     for(int i=head[x];i;i=e[i].ne)
  55.     {
  56.         int dd=e[i].to;
  57.         if(dd==f[x])continue;
  58.         f[dd]=x;
  59.         df1(dd);
  60.         siz[x]+=siz[dd];
  61.         if(!son[x]||siz[son[x]]<siz[dd])
  62.             son[x]=dd;
  63.     }
  64. }
  65.  
  66. void dfs(int x,int tp)
  67. {
  68.     top[x]=tp;
  69.     dfn[x]=++num;
  70.     if(son[x])dfs(son[x],tp);
  71.     for(int i=head[x];i;i=e[i].ne)
  72.     {
  73.         int dd=e[i].to;
  74.         if(dd==f[x])continue;
  75.         if(dd==son[x]){
  76.             val[dfn[dd]]=e[i].v;
  77.             continue;
  78.         }
  79.         dfs(dd,dd);
  80.         val[dfn[dd]]=e[i].v;
  81.     }
  82.     out[x]=num;
  83. }
  84.  
  85. void upda(int v)
  86. {
  87.     int x[];
  88.     x[]=ma[v<<],x[]=ma[v<<|],x[]=ma2[v<<],x[]=ma2[v<<|];
  89.     sort(x+,x+,cm2);
  90.     ma[v]=x[];
  91.     ma2[v]=x[];
  92. }
  93.  
  94. void print(int l,int r,int v)
  95. {
  96.     if(l==r){
  97.         printf("%d %d\n",ma[v],ma2[v]);
  98.         return ;
  99.     }
  100.     int mid;getm;
  101.     print(ls);
  102.     print(rs);
  103. }
  104.  
  105. void build(int l,int r,int v)
  106. {
  107.     if(l==r){
  108.         ma[v]=val[l];
  109.         ma2[v]=-inf;
  110.         return ;
  111.     }
  112.     int mid;getm;
  113.     build(ls);
  114.     build(rs);
  115.     upda(v);
  116. }
  117.  
  118. ll ask(int l,int r,int v,int x,int y,int z)
  119. {
  120.     if(r<x||y<l)return -inf;
  121.     if(x<=l&&r<=y){
  122.         if(ma[v]!=z)return ma[v];
  123.         return ma2[v];
  124.     }
  125.     int mid;getm;
  126.     return max(ask(ls,x,y,z),ask(rs,x,y,z));
  127. }
  128.  
  129. int main()
  130. {
  131.     scanf("%d%d",&n,&m);
  132.     for(int i=;i<=m;++i)
  133.         scanf("%d%d%lld",&edg[i].x,&edg[i].y,&edg[i].v);
  134.     sort(edg+,edg+m+,cmp);
  135.     for(int i=;i<=n;++i)fa[i]=i;
  136.     int cntt=;
  137.     for(int i=;i<=m;++i)
  138.     {
  139.         int x=edg[i].x,y=edg[i].y;
  140.         int fx=find(x),fy=find(y);
  141.         if(fx!=fy){
  142.             cntt++;
  143.             pd[i]=;
  144.             fa[fx]=fa[fy];
  145.             ans1+=edg[i].v;
  146.             add(x,y,edg[i].v);
  147.             add(y,x,edg[i].v);
  148.         }
  149.         if(cntt==n-)break;
  150.     }
  151.     df1();
  152.     dfs(,);
  153.     build(,num,);
  154.     ans2=inf;
  155.     for(int i=;i<=m;++i)
  156.         if(!pd[i]){
  157.             int x=edg[i].x,y=edg[i].y;
  158.             ll tmp=-inf;
  159.             while(top[x]!=top[y])
  160.             {
  161.                 if(dep[top[x]]>dep[top[y]]){
  162.                     tmp=max(tmp,ask(,num,,dfn[top[x]],dfn[x],edg[i].v));
  163.                     x=f[top[x]];
  164.                 }else {
  165.                     tmp=max(tmp,ask(,num,,dfn[top[y]],dfn[y],edg[i].v));
  166.                     y=f[top[y]];
  167.                 }
  168.             }
  169.             int lca=dep[x]<dep[y]?x:y,deper=dep[x]>dep[y]?x:y;
  170.             if(x!=y)tmp=max(tmp,ask(,num,,dfn[son[lca]],dfn[deper],edg[i].v));
  171.             ans2=min(ans2,ans1-tmp+edg[i].v);
  172.         }
  173.     printf("%lld",ans2);
  174. }

还有一种类型题，本质上还是求次小生成树

【题目背景】

HJZ 买了一套新房子，他正在为新房子的装修发愁。

【题目描述】

土豪 HJZ 的新房子需要铺设水管网。 水管网一共有 n 个点，其中 1 号点是进水口，其余 n − 1 个点是出水口。

房子预留 了 m 根水管的空间，每根水管可以连接两个点，但要花费一定的代价。

现在 HJZ 想知道让所有出水口都直接或间接与进水口联通的最小代价。

由于装修 过程中可能会出现一些玄学事件，他还想知道代价最小的连接方案是否唯一。保证存在 一种连接方案。

【输入格式】

从文件 pipe.in 中读入数据。

第一行一个正整数 T 表示测试数据组数。

对于每一组测试数据：

• 第一行两个整数 n, m 分别表示水管网的点数和预留的管道数。

• 接下来 m 行，每行三个正整数 a, b, c 表示一条连接 a, b 的双向管道需要 c 的 代价。

【输出格式】 输出到文件 pipe.out 中。 对于每一组测试数据，分别输出两行。

第一行一个整数表示最小代价。 第二行一个字符串 Yes 或 No 表示连接方案是否唯一。

这道题当时考试的时候一时脑抽。。。就写出来了一个二分。。。留在这里当做纪念吧。。。

  1. //by 减维
  2. #include<cstdio>
  3. #include<iostream>
  4. #include<cstring>
  5. #include<queue>
  6. #include<cstdlib>
  7. #include<ctime>
  8. #include<cmath>
  9. #include<map>
  10. #include<bitset>
  11. #include<algorithm>
  12. #define ll long long
  13. using namespace std;
  14.  
  15. struct lin{
  16.     int fr,to,v;
  17. }ed[];
  18.  
  19. struct edge{
  20.     int to,ne,v;
  21. }e[];
  22.  
  23. struct node{
  24.     int v,pos;
  25. }a[];
  26.  
  27. ll ans;
  28. int t,n,m,num,tot,ecnt,head[],f[],fa[],lx[],rx[],son[],siz[],top[],dfn[],dep[];
  29. bool fla,pd[];
  30.  
  31. bool cmp(const lin&x,const lin&y){return x.v<y.v;}
  32. bool cm2(const node&x,const node&y){
  33.     if(x.v==y.v)return x.pos<y.pos;
  34.     return x.v<y.v;
  35. }
  36.  
  37. void init()
  38. {
  39.     ecnt=num=tot=;
  40.     ans=;
  41.     fla=;
  42.     memset(f,,sizeof(f));
  43.     memset(pd,,sizeof(pd));
  44.     memset(lx,,sizeof(lx));
  45.     memset(rx,,sizeof(rx));
  46.     memset(dep,,sizeof(dep));
  47.     memset(son,,sizeof(son));
  48.     memset(siz,,sizeof(siz));
  49.     memset(dfn,,sizeof(dfn));
  50.     memset(top,,sizeof(top));
  51.     memset(head,,sizeof(head));
  52. }
  53.  
  54. void add(int x,int y,int z)
  55. {
  56.     e[++ecnt].to=y;
  57.     e[ecnt].ne=head[x];
  58.     e[ecnt].v=z;
  59.     head[x]=ecnt;
  60. }
  61.  
  62. int find(int x)
  63. {
  64.     if(x==fa[x])return x;
  65.     fa[x]=find(fa[x]);
  66.     return fa[x];
  67. }
  68.  
  69. void df1(int x)
  70. {
  71.     siz[x]=;
  72.     dep[x]=dep[f[x]]+;
  73.     for(int i=head[x];i;i=e[i].ne)
  74.     {
  75.         int dd=e[i].to;
  76.         if(dd==f[x])continue ;
  77.         f[dd]=x;
  78.         df1(dd);
  79.         siz[x]+=siz[dd];
  80.         if(!son[x]||siz[son[x]]<siz[dd])
  81.             son[x]=dd;
  82.     }
  83. }
  84.  
  85. void dfs(int x,int tp)
  86. {
  87.     top[x]=tp;
  88.     dfn[x]=++num;
  89.     if(son[x])dfs(son[x],tp);
  90.     for(int i=head[x];i;i=e[i].ne)
  91.     {
  92.         int dd=e[i].to;
  93.         if(dd==f[x]||dd==son[x])continue;
  94.         dfs(dd,dd);
  95.     }
  96. }
  97.  
  98. void df2(int x,int v)
  99. {
  100.     a[++tot].v=v;
  101.     a[tot].pos=dfn[x];
  102.     for(int i=head[x];i;i=e[i].ne)
  103.     {
  104.         int dd=e[i].to;
  105.         if(dd==f[x])continue;
  106.         df2(dd,e[i].v);
  107.     }
  108. }
  109.  
  110. bool check(int x,int y,int v)
  111. {
  112.     int l=lx[v],r=rx[v];
  113.     int mid;
  114.     while(l<=r){
  115.         mid=(l+r)>>;
  116.         if(a[mid].pos<=y&&a[mid].pos>=x)return ;
  117.         else if(a[mid].pos>y)r=mid-;
  118.         else l=mid+;
  119.     }
  120.     return ;
  121. }
  122.  
  123. int main()
  124. {
  125.     freopen("pipe.in","r",stdin);
  126.     freopen("pipe.out","w",stdout);
  127.     scanf("%d",&t);
  128.     while(t--)
  129.     {
  130.         scanf("%d%d",&n,&m);
  131.         init();
  132.         for(int i=;i<=m;++i)scanf("%d%d%d",&ed[i].fr,&ed[i].to,&ed[i].v);
  133.         sort(ed+,ed+m+,cmp);
  134.         for(int i=;i<=n;++i)fa[i]=i;
  135.         int cnt=;
  136.         for(int i=,x,y,fx,fy;i<=m;++i)
  137.         {
  138.             x=ed[i].fr,y=ed[i].to;
  139.             fx=find(x),fy=find(y);
  140.             if(fx!=fy){
  141.                 fa[fx]=fy;
  142.                 cnt++;
  143.                 ans+=(ll)ed[i].v;
  144.                 add(x,y,ed[i].v);
  145.                 add(y,x,ed[i].v);
  146.                 pd[i]=;
  147.             }
  148.             if(cnt==n-)break;
  149.         }
  150.         printf("%lld\n",ans);
  151.         df1();
  152.         dfs(,);
  153.         df2(,);
  154.         sort(a+,a+tot+,cm2);
  155.         lx[a[].v]=;
  156.         for(int i=;i<=tot;++i)
  157.             if(a[i].v!=a[i-].v)lx[a[i].v]=i,rx[a[i-].v]=i-;
  158.         rx[a[tot].v]=tot;
  159.         for(int i=,x,y,lca,v,deper;i<=m;++i)
  160.             if(!pd[i])
  161.             {
  162.                 x=ed[i].fr,y=ed[i].to,v=ed[i].v;
  163.                 while(top[x]!=top[y]){
  164.                     if(dep[top[x]]<dep[top[y]])swap(x,y);
  165.                     if(check(dfn[top[x]],dfn[x],v)){
  166.                         fla=;
  167.                         break;
  168.                     }
  169.                     x=f[top[x]];
  170.                 }
  171.                 if(x!=y){
  172.                     lca=dep[x]<dep[y]?x:y;
  173.                     deper=lca==x?y:x;
  174.                     if(check(dfn[son[lca]],dfn[deper],v))fla=;
  175.                 }
  176.                 if(fla)break;
  177.             }
  178.         if(fla)printf("No\n");
  179.         else printf("Yes\n");
  180.     }
  181.     return ;
  182. }

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    和倍增法求lca差不多,维护每个点往上跳2^i步能到达的点,以及之间的边的最大值和次大值,先求出最小生成树,对于每个非树边枚举其端点在树上的路径的最大值,如果最大值和非树边权值一样则找次大值,然后维护 ...

  4. bzoj1977 [BeiJing2010组队]次小生成树 Tree——严格次小生成树

    题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1977 因为严格,所以要记录到 LCA 的一个次小值: 很快写好,然后改掉一堆错误后终于过了样 ...

  5. 【BZOJ1977】[BeiJing2010组队]次小生成树 Tree 最小生成树+倍增

    [BZOJ1977][BeiJing2010组队]次小生成树 Tree Description 小 C 最近学了很多最小生成树的算法,Prim 算法.Kurskal 算法.消圈算法等等. 正当小 C ...

  6. BZOJ 1977: [BeiJing2010组队]次小生成树 Tree( MST + 树链剖分 + RMQ )

    做一次MST, 枚举不在最小生成树上的每一条边(u,v), 然后加上这条边, 删掉(u,v)上的最大边(或严格次大边), 更新答案. 树链剖分然后ST维护最大值和严格次大值..倍增也是可以的... - ...

  7. 1977: [BeiJing2010组队]次小生成树 Tree

    1977: [BeiJing2010组队]次小生成树 Tree https://lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1977 题意: 求严格次小生成树,即边权和不 ...

  8. [BeiJing2010组队]次小生成树 Tree

    1977: [BeiJing2010组队]次小生成树 Tree Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 512 MBSubmit: 5168  Solved: 1668[S ...

  9. 【刷题】BZOJ 1977 [BeiJing2010组队]次小生成树 Tree

    Description 小 C 最近学了很多最小生成树的算法,Prim 算法.Kurskal 算法.消圈算法等等. 正当小 C 洋洋得意之时,小 P 又来泼小 C 冷水了.小 P 说,让小 C 求出一 ...

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