讲一下numpy的矩阵特征值分解与奇异值分解

1、特征值分解

主要还是调包：

from numpy.linalg import eig

特征值分解：  A = P*B*P^T  当然也可以写成 A = Q^T*B*Q  其中B为对角元为A的特征值的对角矩阵，P=Q^T，

首先A得对称正定，然后才能在实数域上分解，

>>> A = np.random.randint(-10,10,(4,4))
>>> A
array([[  6,   9, -10,  -1],
       [  5,   9,   5,  -5],
       [ -8,   7,  -4,   4],
       [ -1,  -9,   0,   6]])
 
>>> C = np.dot(A.T, A)
>>> C
array([[126,  52,  -3, -69],
       [ 52, 292, -73, -80],
       [ -3, -73, 141, -31],
       [-69, -80, -31,  78]])
 
>>> vals, vecs = eig(C)
>>> vals
array([357.33597086, 174.10172008,   8.84429957,  96.71800949])
>>> vecs
array([[-0.28738314, -0.51589436, -0.38221983, -0.71075449],
       [-0.87487263,  0.12873861, -0.24968051,  0.39456798],
       [ 0.2572149 , -0.69304313, -0.33950158,  0.58161018],
       [ 0.29300052,  0.48679627, -0.82237845, -0.02955945]])

故使用时应先将特征值转换为矩阵：

>>> Lambda = np.diag(vals)
>>> Lambda
array([[357.33597086,   0.        ,   0.        ,   0.        ],
       [  0.        , 174.10172008,   0.        ,   0.        ],
       [  0.        ,   0.        ,   8.84429957,   0.        ],
       [  0.        ,   0.        ,   0.        ,  96.71800949]])
 
>>> np.dot(np.dot(vecs, Lambda), vecs.T) # 与C=A.T*A相等
array([[126.,  52.,  -3., -69.],
       [ 52., 292., -73., -80.],
       [ -3., -73., 141., -31.],
       [-69., -80., -31.,  78.]])
 
>>> np.dot(np.dot(vecs.T, Lambda), vecs)
array([[171.65817919,  45.58778569,  53.20435074,  13.37512137],
       [ 45.58778569, 125.15670964,  28.22684299, 134.91290105],
       [ 53.20435074,  28.22684299, 129.48789571,  80.5284382 ],
       [ 13.37512137, 134.91290105,  80.5284382 , 210.69721545]])

故验证了使用np中的eig分解为A=P*B*P^T 而不是A=Q^T*B*Q，其中P=vecs，

即 C = vecs * np.diag(vals) * vecs.T # 这里简写*为矩阵乘法

然后再来看使用np中的eig分解出来的vec中行向量是特征向量还是列向量是特征向量，只需验证：A*vecs[0] = vals[0]*vecs[0]

>>> np.dot(C, vecs[0])
array([-12.84806258, -80.82266859,   6.66283128,  17.51094927])
>>> vals[0]*vecs[0]
array([-102.69233303, -184.34761071, -136.58089252, -253.97814676])
 
>>> np.dot(C, vecs[:,0])
array([-102.69233303, -312.62346098,   91.91213634,  104.69962583])
>>> vals[0]*vecs[:, 0]
array([-102.69233303, -312.62346098,   91.91213634,  104.69962583])

后者两个是相等的，故使用np中的eig分解出的vecs的列向量是特征向量。

然后我们可以验证P是单位正交矩阵：

>>> np.dot(vecs.T, vecs)
array([[ 1.00000000e+00, -7.13175042e-17, -2.45525952e-18,
         2.75965773e-16],
       [-7.13175042e-17,  1.00000000e+00,  2.49530948e-17,
        -5.58839097e-16],
       [-2.45525952e-18,  2.49530948e-17,  1.00000000e+00,
        -7.85564967e-17],
       [ 2.75965773e-16, -5.58839097e-16, -7.85564967e-17,
         1.00000000e+00]])
 
>>> np.dot(vecs, vecs.T)
array([[ 1.00000000e+00,  2.97888865e-16, -2.68317972e-16,
         1.69020590e-16],
       [ 2.97888865e-16,  1.00000000e+00, -4.40952204e-18,
        -6.24188690e-17],
       [-2.68317972e-16, -4.40952204e-18,  1.00000000e+00,
        -1.13726775e-17],
       [ 1.69020590e-16, -6.24188690e-17, -1.13726775e-17,
         1.00000000e+00]])
 
# 可以看到除对角元外其他都是非常小的数

即P^T*P = P*P^T = E , P^T=P^-1。事实上，在求解P的过程中就使用了施密特正交化过程。

另一方面，我们从数学角度来看：

首先补充一些数学知识：可以看我另一篇文章：矩阵知识

A = P*B*P^-1  ，其中B为对角元素为A的特征值的对角阵，P的列向量为特征值对应的特征向量(因为B每行乘以P每列)

2、奇异值分解

还是调包：

from numpy.linalg import svd

设任意矩阵A是m*n矩阵

奇异值分解：A = U*Σ*V^T , 其中U为满足U^TU=E的m阶(m*m)酉矩阵，Σ为对角线上为奇异值σ_i 其他元素为0的广义m*n对角阵，V为满足V^TV=E的n阶(n*n)酉矩阵

a = np.random.randint(-10,10,(4, 3)).astype(float)
 
'''
array([[ -9.,   3.,  -7.],
       [  4.,  -8.,  -1.],
       [ -1.,   6.,  -9.],
       [ -4., -10.,   2.]])
'''
 
In [53]: u, s, vh = np.linalg.svd(a)    # 这里vh为V的转置
 
In [55]: u.shape, s.shape, vh.shape
Out[55]: ((4, 4), (3,), (3, 3))
 
'''
In [63]: u
Out[63]:
array([[-0.53815289,  0.67354057, -0.13816841, -0.48748749],
       [ 0.40133556,  0.1687729 ,  0.78900752, -0.43348888],
       [-0.59291924,  0.04174708,  0.59180987,  0.54448603],
       [ 0.44471115,  0.71841213, -0.09020922,  0.52723647]])
 
In [64]: s
Out[64]: array([16.86106528, 11.07993065,  7.13719934])
 
In [65]: vh
Out[65]:
array([[ 0.31212695, -0.760911  ,  0.56885078],
       [-0.74929793, -0.56527432, -0.3449892 ],
       [ 0.58406282, -0.31855829, -0.74658639]])
'''
 
In [56]: np.allclose(a, np.dot(u[:, :3] * s, vh))
Out[56]: True
 
# 将s转化为奇异值矩阵
In [60]: smat[:3, :3] = np.diag(s)
 
In [61]: smat
Out[61]:
array([[16.86106528,  0.        ,  0.        ],
       [ 0.        , 11.07993065,  0.        ],
       [ 0.        ,  0.        ,  7.13719934],
       [ 0.        ,  0.        ,  0.        ]])
 
# 验证分解的正确性
In [62]: np.allclose(a, np.dot(u, np.dot(smat, vh)))
Out[62]: True